Решение:
( ∗ ) { x 2 > 0 x 1 − x > 0 ⇒ { x > 0 x 1 − x > 0 ⇒ { x > 0 x ∈ ( 0 ; 1 ) ⇒ x ∈ ( 0 ; 1 ) (*)
\begin{cases}
x\sqrt{2} > 0 \\
\frac{x}{1 - x} > 0 \\
\end{cases}
\Rightarrow
\begin{cases}
x > 0 \\
\frac{x}{1 - x} > 0 \\
\end{cases}
\Rightarrow
\begin{cases}
x > 0 \\
x \in (0; 1) \\
\end{cases}
\Rightarrow x \in (0; 1) ( ∗ ) { x 2 > 0 1 − x x > 0 ⇒ { x > 0 1 − x x > 0 ⇒ { x > 0 x ∈ ( 0 ; 1 ) ⇒ x ∈ ( 0 ; 1 )
Если выполняется условие( ∗ ) (*) ( ∗ ) 8 x 2 + 1 x − 5 > 0 8x^2 + \frac{1}{x} - 5 > 0 8 x 2 + x 1 − 5 > 0
Преобразуем исходное неравенство:
2 log 7 ( x 2 ) − log 7 x 1 − x ≤ log 7 ( 8 x 2 + 1 x − 5 ) 2\log_7(x\sqrt{2}) - \log_7\frac{x}{1 - x} \leq \log_7\left(8x^2 + \frac{1}{x} - 5\right) 2 log 7 ( x 2 ) − log 7 1 − x x ≤ log 7 ( 8 x 2 + x 1 − 5 ) log 7 ( 2 x 2 ) − log 7 x 1 − x ≤ log 7 ( 8 x 2 + 1 x − 5 ) \log_7(2x^2) - \log_7\frac{x}{1 - x} \leq \log_7\left(8x^2 + \frac{1}{x} - 5\right) log 7 ( 2 x 2 ) − log 7 1 − x x ≤ log 7 ( 8 x 2 + x 1 − 5 ) log 7 ( 2 x 2 ( 1 − x ) x ) ≤ log 7 ( 8 x 2 + 1 x − 5 ) \log_7\left(\frac{2x^2(1 - x)}{x}\right) \leq \log_7\left(8x^2 + \frac{1}{x} - 5\right) log 7 ( x 2 x 2 ( 1 − x ) ) ≤ log 7 ( 8 x 2 + x 1 − 5 )
Так как основание логарифма 7 > 1 7 > 1 7 > 1 ( ∗ ) (*) ( ∗ ) 2 x 2 ( 1 − x ) x ≤ 8 x 2 + 1 x − 5 \frac{2x^2(1 - x)}{x} \leq 8x^2 + \frac{1}{x} - 5 x 2 x 2 ( 1 − x ) ≤ 8 x 2 + x 1 − 5 2 x ( 1 − x ) ≤ 8 x 2 + 1 x − 5 2x(1 - x) \leq 8x^2 + \frac{1}{x} - 5 2 x ( 1 − x ) ≤ 8 x 2 + x 1 − 5 2 x 2 ( 1 − x ) ≤ 8 x 3 + 1 − 5 x 2x^2(1 - x) \leq 8x^3 + 1 - 5x 2 x 2 ( 1 − x ) ≤ 8 x 3 + 1 − 5 x 2 x 2 − 2 x 3 ≤ 8 x 3 + 1 − 5 x 2x^2 - 2x^3 \leq 8x^3 + 1 - 5x 2 x 2 − 2 x 3 ≤ 8 x 3 + 1 − 5 x 10 x 3 − 2 x 2 − 5 x + 1 ≥ 0 10x^3 - 2x^2 - 5x + 1 \geq 0 10 x 3 − 2 x 2 − 5 x + 1 ≥ 0 ( 5 x − 1 ) ( 2 x 2 − 1 ) ≥ 0 (5x - 1)(2x^2 - 1) \geq 0 ( 5 x − 1 ) ( 2 x 2 − 1 ) ≥ 0 ( 5 x − 1 ) ( 2 x − 1 ) ( 2 x + 1 ) ≥ 0 (5x - 1)(\sqrt{2}x - 1)(\sqrt{2}x + 1) \geq 0 ( 5 x − 1 ) ( 2 x − 1 ) ( 2 x + 1 ) ≥ 0
Решение неравенства:
x ∈ [ − 1 2 ; 1 5 ] ∪ [ 1 2 ; + ∞ ) x \in \left[-\frac{1}{\sqrt{2}}; \frac{1}{5}\right] \cup \left[\frac{1}{\sqrt{2}}; +\infty\right) x ∈ [ − 2 1 ; 5 1 ] ∪ [ 2 1 ; + ∞ )
Учитывая ограничения ( ∗ ) (*) ( ∗ ) x ∈ ( 0 ; 1 ) x \in (0; 1) x ∈ ( 0 ; 1 ) x ∈ ( 0 ; 1 5 ] ∪ [ 1 2 ; 1 ) x \in \left(0; \frac{1}{5}\right] \cup \left[\frac{1}{\sqrt2}; 1\right) x ∈ ( 0 ; 5 1 ] ∪ [ 2 1 ; 1 )
Ответ: x ∈ ( 0 ; 1 5 ] ∪ [ 1 2 ; 1 ) x \in \left(0; \frac{1}{5}\right] \cup \left[\frac{1}{\sqrt2}; 1\right) x ∈ ( 0 ; 5 1 ] ∪ [ 2 1 ; 1 )
