Решение.
а) Перейдём к одному основанию:
7 2 cos x = 49 sin 2 x ⟺ 49 cos x = 49 sin 2 x ⟺ cos x = sin 2 x ⟺ cos x = 2 sin x cos x ⟺ cos x ( 1 − 2 sin x ) = 0 ⟺ [ cos x = 0 , sin x = 1 2 ⟺ [ x = π 2 + π k , x = π 6 + 2 π k , x = 5 π 6 + 2 π k , k ∈ Z . \begin{aligned}
7^{2\cos x}=49^{\sin 2x}
&\Longleftrightarrow 49^{\cos x}=49^{\sin 2x}\\
&\Longleftrightarrow \cos x=\sin 2x\\
&\Longleftrightarrow \cos x=2\sin x\cos x\\
&\Longleftrightarrow \cos x(1-2\sin x)=0\\
&\Longleftrightarrow
\left[
\begin{aligned}
\cos x&=0,\\
\sin x&=\frac12
\end{aligned}
\right.\\
&\Longleftrightarrow
\left[
\begin{aligned}
x&=\frac{\pi}{2}+\pi k,\\
x&=\frac{\pi}{6}+2\pi k,\\
x&=\frac{5\pi}{6}+2\pi k,
\end{aligned}
\right.
\qquad k\in\mathbb Z.
\end{aligned} 7 2 c o s x = 4 9 s i n 2 x ⟺ 4 9 c o s x = 4 9 s i n 2 x ⟺ cos x = sin 2 x ⟺ cos x = 2 sin x cos x ⟺ cos x ( 1 − 2 sin x ) = 0 ⟺ cos x sin x = 0 , = 2 1 ⟺ x x x = 2 π + π k , = 6 π + 2 π k , = 6 5 π + 2 π k , k ∈ Z .
б) Отберём корни при помощи единичной окружности.
Подходят числа
3 π 2 , 13 π 6 , 5 π 2 . \frac{3\pi}{2},\qquad
\frac{13\pi}{6},\qquad
\frac{5\pi}{2}. 2 3 π , 6 13 π , 2 5 π .
Ответ:
а ) { π 2 + π k ; π 6 + 2 π k ; 5 π 6 + 2 π k : k ∈ Z } ; б ) 3 π 2 , 13 π 6 , 5 π 2 . а) \left\{
\frac{\pi}{2}+\pi k;\
\frac{\pi}{6}+2\pi k;\
\frac{5\pi}{6}+2\pi k
\mathrel{:} k\in\mathbb Z
\right\};
\qquad
б) \frac{3\pi}{2},\ \frac{13\pi}{6},\ \frac{5\pi}{2}. а ) { 2 π + π k ; 6 π + 2 π k ; 6 5 π + 2 π k : k ∈ Z } ; б ) 2 3 π , 6 13 π , 2 5 π .
