Санкт-Петербург

а) Решите уравнение:

$$7^{2\cos x}=49^{\sin 2x}.$$ б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

$$\left[\pi;\frac{5\pi}{2}\right].$$

В основании четырёхугольной пирамиды $SABCD$ лежит прямоугольник $ABCD$ со сторонами

$$AB=5,\qquad BC=6.$$ Длины боковых рёбер пирамиды равны

$$SA=\sqrt3,\qquad SB=2\sqrt7,\qquad SD=\sqrt{39}.$$

а) Докажите, что $SA$ --- высота пирамиды.

б) Найдите длину ребра $SC$

Решите неравенство: $2\log_7(x\sqrt{2}) - \log_7\frac{x}{1 - x} \leq \log_7\left(8x^2 + \frac{1}{x} - 5\right)$

В июле 2028 года планируется взять кредит в банке на 40 млн рублей на 4 года. Условия его возврата таковы:

• каждый январь долг увеличивается на $r\%$ по сравнению с концом предыдущего года;
• с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
• в июле 2029, 2030 и 2031 годов долг должен быть на $25\%$ меньше долга на июль предыдущего года;
• в июле 2032 года долг должен быть полностью погашен.

Известно, что общая сумма выплат по кредиту составила $61{,}875$ млн рублей. Найдите $r$.

В равнобедренном тупоугольном треугольнике $ABC$ на продолжение боковой стороны $BC$ опущена высота $AH$. Из точки $H$ на сторону $AB$ и основание $AC$ опущены перпендикуляры $HK$ и $HM$ соответственно.

а) Докажите, что отрезки $AM$ и $MK$ равны.

б) Найдите $MK$, если

$$AB=3,\qquad AC=5.$$

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $$\frac{|4x| - x - 3- a}{x^2 - x - a} = 0$$ имеет ровно два раличных решения.

На доске написано некоторое количество двузначных натуральных чисел, среди которых могут быть одинаковые. С каждым из этих чисел проделывают одну из двух операций: либо увеличивают цифру в разряде десятков на 4 и уменьшают цифру в разряде единиц на 5, либо уменьшают цифру в разряде десятков на 3 и увеличивают цифру в разряде единиц на 5. Все числа, получившиеся в результате, оказались двузначными натуральными.

а) Может ли сумма исходных чисел оказаться на 79 меньше суммы получившихся чисел?

б) Может ли количество чисел на доске равняться 42, если сумма исходных чисел равна сумме получившихся чисел?

в) Какое наименьшее количество чисел может быть написано на доске, если сумма исходных чисел равна сумме получившихся чисел и больше 2026?