Санкт-Петербург

а) Решите уравнение

$$\cos 2x+\sqrt{3}\sin(x+\pi)-1=0.$$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

$$\left[2\pi;\frac{7\pi}{2}\right].$$

В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ с основанием $ABCD$ точка $O$~--- центр основания пирамиды, точка $M$~--- середина ребра $SC$, точка $K$ делит ребро $BC$ в отношении

$$BK:KC=2:1.$$ Известно, что

$$AB=6,\qquad SO=3\sqrt{7}.$$

а) Докажите, что плоскость $OMK$ параллельна прямой $SA$.

б) Найдите длину отрезка, по которому плоскость $OMK$ пересекает грань $SAD$.

Решите неравенство: $\frac{3^x + 9}{3^x - 9} + \frac{3^x - 9}{3^x + 9} \geq \frac{4\cdot3^{x + 1} + 144}{9^x - 81}$ {Решение.} \textbf{Решение: }

Сделаем замену $3^x = t > 0$. Тогда неравенство примет вид: $$\frac{t + 9}{t - 9} + \frac{t - 9}{t + 9} \geq \frac{12t + 144}{t^2 - 81}$$ Приведём левую часть к общему знаменателю: $$\frac{(t + 9)^2 + (t - 9)^2}{(t - 9)(t + 9)} \geq \frac{12t + 144}{t^2 - 81}$$ Раскроем скобки в числителе: $$\frac{t^2 + 18t + 81 + t^2 - 18t + 81}{(t - 9)(t + 9)} \geq \frac{12t + 144}{t^2 - 81}$$ Упростим числитель: $$\frac{2t^2 + 162}{(t - 9)(t + 9)} \geq \frac{12t + 144}{t^2 - 81}$$ Перенесём все слагаемые в левую часть: $$\frac{2t^2 + 162 - 12t - 144}{(t - 9)(t + 9)} \geq 0$$ Упростим числитель: $$\frac{2t^2 - 12t + 18}{(t - 9)(t + 9)} \geq 0 \Leftrightarrow \frac{2(t^2 - 6t + 9)}{(t - 9)(t + 9)} \geq 0 \Leftrightarrow \frac{2(t - 3)^2}{(t - 9)(t + 9)} \geq 0$$

Получаем:

Ответ: $x \in \{1\} \cup (2; +\infty)$

В июле 2024 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия возврата таковы:

• каждый январь долг увеличивается на $20\%$ по сравнению с концом предыдущего года;

• с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.

Сколько рублей планируется взять в банке, если известно, что кредит будет полностью погашен тремя равными платежами, то есть за три года, а общая сумма выплат после полного погашения кредита на $77\,200$ рублей больше суммы, взятой в кредит?

Пятиугольник $ABCDE$ вписан в окружность. Известно, что

$$AB=CD=5,\qquad BC=DE=8.$$

а) Докажите, что

$$AC=CE.$$

б) Найдите длину диагонали $BE$, если

$$AD=10.$$

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых система уравнений

$$\begin{cases} y=1-|x-a|,\\ |y|+x^2+2x=0 \end{cases}$$ имеет четыре решения.

В порту имеются только заполненные контейнеры, масса каждого из которых равна $40$ тонн или $60$ тонн. В некоторых контейнерах находится сахарный песок.

Количество контейнеров с сахарным песком составляет $40\%$ от общего числа контейнеров.

а) Может ли масса контейнеров с сахарным песком составлять $36\%$ от общей массы?

б) Может ли масса контейнеров с сахарным песком составлять $60\%$ от общей массы?

в) Какую наибольшую долю в процентах может составлять масса контейнеров с сахарным песком от общей массы?