Дальний Восток

а) Решите уравнение $2 \log_3^2(2 \cos x) - 5 \log_3(2 \cos x) + 2 = 0$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ \pi; \frac{5\pi}{2} \right]$

Дан тетраэдр $ABCD$. На ребре $AC$ выбрана точка $K$ так, что $AK : KC = 3:7$. Также на рёбрах $AD$, $BD$ и $BC$ выбраны точки $L$, $M$ и $N$ соответственно так, что $KLMN$ — квадрат со стороной $3$

а) Докажите, что рёбра $AB$ и $CD$ взаимно перпендикулярны.

б) Найдите расстояние от точки $B$ до плоскости $KLMN$, если объём тетраэдра $ABCD$ равен $100$

Решите неравенство $$\frac{4^x - 2^{x+3} + 7}{4^x - 5 \cdot 2^x + 4} \leq \frac{2^x - 9}{2^x - 4} + \frac{1}{2^x - 6}.$$

В июле 2023 года планируется взять кредит на некоторую сумму. Условия возврата таковы:

• каждый январь долг увеличивается на 25% по сравнению с предыдущим годом;

• с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга одним платежом.

Найдите сумму кредита, если известно, что кредит будет полностью погашен четырьмя равными платежами (то есть за четыре года), а общая сумма выплат равна 375,000 рублей.

Две окружности касаются внутренним образом в точке $A$, причём меньшая проходит через центр большей. Хорда $BC$ большей окружности касается меньшей в точке $P$. Хорды $AB$ и $AC$ пересекают меньшую окружность в точках $K$ и $M$ соответственно.

а) Докажите, что прямые $KM$ и $BC$ параллельны.

б) Пусть $L$ — точка пересечения отрезков $KM$ и $AP$. Найдите $AL$, если радиус большей окружности равен $10$, а $BC = 16$.

NOOOOON

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $$\sqrt{5x - 3}\cdot\ln(x^2 - 6x + 10 - a^2) = 0$$ имеет ровно один корень на отрезке $[0; 3]$.

Егор делит линейку на части. За одно действие он может отрезать от любого количества линеек равные части, имеющие целую длину.

а) Может ли Егор за $5$ ходов разделить линейку длиной в $32$ см на части по $1$ см?

б) Может ли Егор за $4$ хода разделить линейку длиной в $50$ см на части по $1$ см?

в) За какое наименьшее количество ходов Егор может разделить линейку длиной в $300$ см на части по $1$ см?