Тип 16 № 20672

Решение:

Пусть $t = 2^x > 0$. Тогда $4^x = t^2$, $2^{x+3} = 8t$. Подставим: $$\frac{t^2 - 8t + 7}{t^2 - 5t + 4} \leq \frac{t - 9}{t - 4} + \frac{1}{t - 6}.$$ Разложим на множители: $$t^2 - 8t + 7 = (t-1)(t-7), \qquad t^2 - 5t + 4 = (t-1)(t-4).$$ При $t \neq 1$ левая часть упрощается: $$\frac{t - 7}{t - 4} \leq \frac{t - 9}{t - 4} + \frac{1}{t - 6}.$$

Перенесём всё в левую часть: $$\frac{t - 7}{t - 4} - \frac{t - 9}{t - 4} - \frac{1}{t - 6} \leq 0,$$ $$\frac{2}{t - 4} - \frac{1}{t - 6} \leq 0.$$

Приводим к общему знаменателю: $$\frac{2(t-6) - (t-4)}{(t-4)(t-6)} = \frac{t - 8}{(t-4)(t-6)} \leq 0.$$

Ограничения: $t > 0$, $t \neq 1$.

Получаем: $$t \in (0;1) \cup (1;4) \cup (6;8].$$

Возвращаемся к $2^x = t$: $$0 < t < 1 \quad\Rightarrow\quad x < 0,$$ $$1 < t < 4 \quad\Rightarrow\quad 0 < x < 2,$$ $$6 < t \le 8 \quad\Rightarrow\quad \log_2 6 < x \le 3.$$

Объединяя, получаем: $$x \in (-\infty; 0) \cup (0; 2) \cup (\log_2 6; 3].$$

Ответ: $(-\infty; 0) \cup (0; 2) \cup (\log_2 6; 3]$.