Тип 4 № 20671

Решение

а)

Так как $KLMN$ — квадрат, его противоположные стороны $KN$ и $LM$ параллельны. Следовательно, прямая $LM$ параллельна плоскости $ABC$ (она параллельна линии пересечения плоскостей $ABC$ и $KLMN$, а именно $KN$). В плоскости $ADB$ прямые $LM$ и $AB$ не имеют общих точек, значит, они параллельны. Таким образом, получаем цепочку параллельностей: $KN \parallel LM \parallel AB$.
Аналогично, из параллельности сторон $KL$ и $MN$ следует, что $KL \parallel MN \parallel CD$.
В квадрате $KL \perp LM$, следовательно, $CD \perp AB$.

б)

Расстояние от точки $B$ до плоскости $KLMN$ равно высоте пирамиды $BKMN$, опущенной из вершины $B$ на плоскость основания $KMN$.

Площадь прямоугольного треугольника $KMN$: $$S_{KMN} = \frac{1}{2} \cdot KN \cdot NM = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 3 = \frac{9}{2}.$$

Тогда $$d(B, (KLMN)) = h = \frac{3 V_{BKMN}}{S_{KMN}}.$$

Выразим объём $V_{BKMN}$ через объём всего тетраэдра $ABCD$.
Пусть $AH$ — высота тетраэдра $ABCD$, опущенная на грань $BCD$. Так как $KC = \frac{7}{10}AC$, то расстояние от точки $K$ до плоскости $BCD$ равно $\frac{7}{10}AH$. Обозначим его $KH_1$: $$KH_1 = \frac{7}{10}AH.$$

В треугольнике $BCD$ точки $M$ и $N$ делят рёбра $BD$ и $BC$ в отношении $BM:MD = 3:7$ и $BN:NC = 3:7$, поэтому треугольник $BMN$ подобен треугольнику $BCD$ с коэффициентом $\frac{3}{10}$. Следовательно, $$S_{BMN} = \left(\frac{3}{10}\right)^2 S_{BCD} = \frac{9}{100}S_{BCD}.$$

Теперь объём пирамиды $BKMN$: $$V_{BKMN} = \frac{1}{3} \cdot KH_1 \cdot S_{BMN} = \frac{1}{3} \cdot \frac{7}{10}AH \cdot \frac{9}{100}S_{BCD} = \frac{7}{10} \cdot \frac{9}{100} \cdot \left(\frac{1}{3} AH \cdot S_{BCD}\right) = \frac{63}{1000} V_{ABCD}.$$

По условию $V_{ABCD} = 100$, значит $$V_{BKMN} = \frac{63}{1000} \cdot 100 = \frac{63}{10}.$$

Подставляем в формулу для расстояния: $$d(B, (KLMN)) = \frac{3 \cdot \frac{63}{10}}{\frac{9}{2}} = \frac{189}{10} \cdot \frac{2}{9} = \frac{21}{5} = 4{,}2.$$

$$\boxed{4{,}2}$$