Демовариант №9

Площадь параллелограмма $ABCD$ равна 176. Точка $E$ – середина стороны $AD$. Найдите площадь треугольника $ABE$.

Источник: Банк ФИПИ

На координатной плоскости изображены векторы $\vec a, \vec b$ и $\vec c$. Найдите длину вектора $\vec a + \vec b - \vec c$.

Источник: БАНК ЕГЭ.

Высота конуса равна 6, образующая равна 10. Найдите его объем, деленный на $\pi$

Источник: БАНК ФИПИ.

В праздничном наборе 100 шариков: 20 красных, 30 синих, остальные желтые и зеленые, их поровну. Какова вероятность того, что из набора достали один шарик синего или желтого цвета?

Источник: Пробный экзамен Москва, 2024

При двукратном бросании игральной кости в сумме выпало 8 очков. Какова вероятность того, что хотя бы раз выпало 6 очков?

Стрелок последовательно стреляет по трём мишеням. По каждой мишени он стреляет до тех пор, пока не поразит её, после чего переходит к следующей. При каждом отдельном выстреле вероятность попадания равна $0{,}2$. Найдите математическое ожидание общего числа выстрелов, необходимого для поражения трёх мишеней.

Решите уравнение $\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}$. В ответе запишите наименьший положительный корень, делённый на $\frac{\pi}{6}$.

Источник: РЕШУ ЕГЭ

Найдите значение выражения $8\sin{\dfrac{5\pi}{12}}\cdot\cos{\dfrac{5\pi}{12}}$.

Источник: Банк ФИПИ

Материальная точка движется прямолинейно по закону ${x\left(t\right)=t^2-13t+23}$, где $x$ — расстояние от точки отсчёта в метрах, $t$ — время в секундах, прошедшее с начала движения. В какой момент времени (в секундах) её скорость была равна $3$ м/с?

Источник: БАНК ФИПИ.

Водолазный колокол, содержащий $\nu = 5$ моль воздуха при давлении $p_1 = 2,3$ атмосферы, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного давления $p_2$. Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, определяется выражением $A = a\nu T \log_2 \frac{p_2}{p_1}$, где $a = 15,6 \, \text{Дж/(моль\(\cdot\)К)}$ — постоянная, $T = 300 \, \text{K}$ — температура воздуха. Найдите, какое давление $p_2$ (в атм) будет иметь воздух в колоколе, если при сжатии воздуха была совершена работа в 23400 Дж.

Источник: ЕГЭ 2023. Досрочная волна.

Имеется два сосуда. Первый содержит $30$ кг, а второй — $20$ кг раствора кислоты различной концентрации. Если эти растворы смешать, то получится раствор, содержащий $68$% кислоты. Если же смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий $70$% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом сосуде?

Источник: ЕГЭ 2025. Добровольная пересдача.

На рисунке изображён график функции $f(x) = ax^2 - 4x + c$. Найдите $f(-3)$.

Источник: БАНК ФИПИ

В июле планируется взять кредит в банке на сумму $300\,000$ рублей. Условия возврата кредита таковы:

• каждый январь долг увеличивается на $r\%$ по сравнению с концом предыдущего года;
• с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.

Найдите $r$, если известно, что кредит будет полностью погашен за два года, причём в первый год будет выплачено $180\,000$ рублей, а во второй год — $216\,000$ рублей.

a) Решите уравнение $6^{2x-1} + 2 \cdot 25^{x-0,5} = 16 \cdot 30^{x-1}$.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[0,5; 4]$.

Источник: Сборник И.В. Ященко 2026, вариант 27

В основании четырёхугольной пирамиды $MABCD$ лежит прямоугольник $ABCD$ со сторонами $AB = 4$, $AD = 15$. При этом известны длины некоторых боковых рёбер: $MA = \sqrt{26}$, $MB = \sqrt{10}$, $MC = \sqrt{235}$.

а)Докажите, что $MB$ — высота пирамиды $MABCD$.

б) Найдите угол между прямой $MD$ и плоскостью $ABM$.

Источник: Банк ЕГЭ

Решите неравенство

$$\frac{ \log_2\left(2x^2-17x+35\right)-1 }{ \log_2(x+6) } \leq0.$$

Эпицентр циклона движется прямолинейно. Во время первого измерения он находился в $18$ км к северу и в $6$ км к западу от метеостанции, а во время второго измерения — в $10$ км к северу и в $2$ км к западу от метеостанции.

Определите наименьшее расстояние, на которое эпицентр циклона приблизится к метеостанции.

В прямоугольный треугольник ABC вписана окружность, касающаяся катетов AC, BC и гипотенузы AB в точках M, E и K соответственно. EH – перпендикуляр из точки E на прямую MK.

а) Докажите, что EK ∥ CH.

б) Известно, что AC = 15, BC = 8. Найти отношение CH к EK.

Источник: ЕГЭ 2026. Основная волна. Дальний Восток

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $$\frac{|4x| - x - 3- a}{x^2 - x - a} = 0$$ имеет ровно два раличных решения.

На доске написали несколько не обязательно различных двузначных натуральных чисел без нулей в десятичной записи. Сумма этих чисел оказалась равной 2970. В каждом числе поменяли местами первую и вторую цифры (например, число 16 заменили на число 61).

а)  Приведите пример исходных чисел, для которых сумма получившихся чисел ровно в 3 раза меньше, чем сумма исходных чисел.

б)  Могла ли сумма получившихся чисел быть ровно в 5 раз меньше, чем сумма исходных чисел?

в)  Найдите наименьшее возможное значение суммы получившихся чисел.