Демовариант №8

Найдите площадь треугольника, две стороны которого равны 8 и 12, а угол между ними равен 30°.

На координатной плоскости изображены векторы $\vec a$ и $\vec b$. Найдите их скалярное произведение.

Источник: БАНК ЕГЭ.

Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Площадь боковой поверхности отсеченной треугольной призмы равна 12. Найдите площадь боковой поверхности исходной призмы.

Источник: ЕГЭ 2026. Основная волна. Дальний Восток

В соревнованиях по толканию ядра участвуют 3 спортсмена из Дании, 6 из Швеции, 4 из Норвегии и 7 из Финляндии. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, который выступает последним, окажется из Норвегии.

Источник: ЕГЭ по математике 2023. Основная волна

Игральную кость бросили два раза. Известно, что 1 очко не выпало ни разу. Найдите при этом условии вероятность события «сумма очков равна четырём».

Источник: БАНК ФИПИ.

Монету подбрасывают до тех пор, пока решка не выпадет два раза, не обязательно подряд. Вероятность выпадения решки при одном подбрасывании равна $0{,}25$. Найдите математическое ожидание числа подбрасываний.

Найдите корень уравнения:

$$\frac{4}{7}x = 7\frac{3}{7}.$$

Найдите значение выражения $\frac{\sqrt{81\sqrt[7]{b}}}{\sqrt[14]{b}}$ при $b > 0$.

Источник: Банк ФИПИ

На рисунке изображены график функции ${y=f\left(x\right)}$ и касательная к нему в точке с абсциссой $x_0$. Найдите значение производной функции $f\left(x\right)$ в точке $x_0$.

Источник: БАНК ФИПИ.

Установка для демонстрации адиабатического сжатия представляет собой сосуд с поршнем, резко сжимающим газ. При этом объём и давление связаны соотношением $pV^{1{,}4} = const$, где $p$ (атм.) — давление газа, $V$ — объём газа в литрах. Изначально объём газа равен 1,6 л, а его давление равно одной атмосфере. В соответствии с техническими характеристиками поршень насоса выдерживает давление не более 128 атмосфер. Определите, до какого минимального объёма можно сжать газ. Ответ выразите в литрах.

Источник: ЕГЭ  2015. Основная волна.

Цена холодильника в магазине ежегодно уменьшается на одно и то же число процентов от предыдущей цены. Определите, на сколько процентов каждый год уменьшалась цена холодильника, если, выставленный на продажу за $20000$ рублей, через два года был продан за $15842$ рублей.

Источник: БАНК ФИПИ

На рисунке изображен график функции вида $f(x) = a^x$. Найдите значение $f(4)$.

Источник: БАНК ФИПИ

В июле планируется взять кредит в банке на сумму $8$ миллионов рублей сроком на $8$ лет. Условия возврата кредита таковы:

• каждый январь долг возрастает на $r\%$ по сравнению с концом предыдущего года;
• с февраля по июнь необходимо выплатить часть долга так, чтобы на начало июля каждого года долг уменьшался на одну и ту же сумму по сравнению с предыдущим июлем.

Найдите наименьшую возможную ставку $r$, если известно, что последний платёж будет не менее $1{,}18$ миллиона рублей.

а) Решите уравнение: $7\cdot9^{x^2 -3x + 1} + 5\cdot6^{x^2 - 3x + 1} -48\cdot4^{x^2 - 3x} = 0$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-1; 2\right]$.

В правильной шестиугольной пирамиде $SABCDEF$ с вершиной $S$ точка $M$ — середина $SD$, точка $K$ — середина $SA$.

а) Докажите, что прямые $BK$ и $CM$ лежат в одной плоскости $\alpha$.

б) Найдите высоту пирамиды, если угол между плоскостью $\alpha$ и плоскостью основания пирамиды равен $60^\circ$ и $AB=6$.

Источник: ЕГЭ 2026. Основная волна. Дальний Восток

Решите неравенство: $\frac{2^x + 8}{2^x - 8} + \frac{2^x - 8}{2^x + 8} \geq \frac{2^{x + 4} + 96}{4^x - 64}$

Для перевозки $330$ маленьких и $27$ больших блоков выделен автомобиль грузоподъёмностью $9{,}6$ т. По техническим условиям за одну поездку автомобиль может перевозить груз, габариты которого соответствуют не более чем $36$ маленьким блокам. По габаритам один большой блок занимает столько же места, сколько $14$ маленьких блоков.

Большой блок весит $3{,}2$ т, а маленький блок — $0{,}2$ т. Какое минимальное количество поездок потребуется для перевозки всех блоков?

На боковой стороне $CD$ трапеции $ABCD$ отмечена точка $M$, которая является серединой этой стороны.

а) Докажите, что $S_{ABM} = \dfrac{1}{2}S_{ABCD}$.

б) На стороне $CD$ отмечена точка $K$ такая, что $S_{BKC} = \dfrac{1}{2}S_{AKD}$, причём $AD = 2BC$. Расстояние от точки $D$ до прямой $AB$ равно 10. Найдите расстояние от точки $K$ до стороны $AB$.

Источник: ЕГЭ 2020, основная волна

Найдите все значения параметра $a$, при каждом их которых система $$\begin{cases} 6\cdot 2^{|x|}+7|x|+1=6y+7x^2+a,\\ x^2+y^2=1 \end{cases}$$ имеет ровно одно решение.

Дано трёхзначное число $A$, сумма цифр которого равна $S$.

а) Может ли выполняться равенство $A\cdot S = 28000$?

б) Может ли выполняться равенство $A\cdot S = 2971$?

в) Найдите наибольшее произведение $A \cdot S < 5997$.

Источник: ЕГЭ 2021, основная волна