Демовариант №7

Найдите площадь прямоугольника, если его периметр равен 18, и одна сторона на 3 больше другой.

Источник: Банк ФИПИ

На координатной плоскости изображены векторы $\vec a$ и $\vec b$. Найдите косинус угла между этими векторами.

Источник: БАНК ЕГЭ.

Найдите площадь боковой поверхности правильной шестиугольной призмы, сторона основания которой равна 5, а высота — 10

Источник: БАНК ФИПИ.

В соревнованиях по толканию ядра участвуют спортсмены из четырех стран: 8 из Швеции, 12 из Дании, 7 из Норвегии и 5 из Финляндии. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, выступающий первым, окажется из Швеции.

Источник: БАНК ФИПИ.

Всем пациентам с подозрением на гепатит делают анализ крови. Если анализ выявляет гепатит, то результат анализа называется положительным. У больных гепатитом пациентов анализ даёт положительный результат с вероятностью 0,9. Если пациент не болен гепатитом, то анализ может дать ложный положительный результат с вероятностью 0,01. Известно, что 5% пациентов, поступающих с подозрением на гепатит, действительно больны гепатитом. Найдите вероятность того, что результат анализа у пациента, поступившего в клинику с подозрением на гепатит, будет положительным.

Источник: БАНК ФИПИ.

Игральную кость бросают до тех пор, пока число $6$ не выпадет два раза, не обязательно подряд. Найдите математическое ожидание числа бросков.

Найдите корень уравнения: $\sqrt{3x + 49} = 10$.
Источник: Решу ЕГЭ, демонстрационная версия ЕГЭ 2020-2025.

Найдите значение выражения $\left(2\dfrac{4}{7}-2,5\right):\dfrac{1}{70}$.

Источник: Банк ФИПИ

На рисунке изображён график функции ${y=f\left(x\right)}$, определённой на интервале $\left(-2; 12\right)$. Найдите сумму точек экстремума функции $f\left(x\right)$.

Источник: ЕГЭ 2021. Основная волна, резервный день. Центр.

В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается по закону $m(t) = m_0 \cdot 2^{-\frac{t}{T}}$, где $m_0$ — начальная масса изотопа, $t$ — время, прошедшее от начального момента, $T$ — период полураспада. В начальный момент времени масса изотопа $m_0 = 50 \, \text{мг}$. Период его полураспада $T = 5 \, \text{мин}$. Найдите, через сколько минут масса изотопа будет равна 12,5 мг?

Источник: БАНК ФИПИ

Один мастер может выполнить заказ за 15 часов, а другой – за 10 часов. За сколько часов выполнят заказ оба мастера, работая вместе?

Источник: ЕГЭ−2025. Досрочная волна.

На рисунке изображён график функции $f(x) = \log_a (x + b)$. Найдите $f(11)$.

Источник: БАНК ФИПИ

В июле планируется взять кредит в банке на сумму $6$ миллионов рублей сроком на $12$ лет. Условия возврата кредита таковы:

• каждый январь долг возрастает на $r\%$ по сравнению с концом предыдущего года;
• с февраля по июнь необходимо выплатить часть долга так, чтобы на начало июля каждого года долг уменьшался на одну и ту же сумму по сравнению с предыдущим июлем.

Найдите наименьшую возможную ставку $r$, если известно, что последний платёж будет не менее $0{,}575$ миллиона рублей.

а) Решите уравнение: $81^{\cos x} -12\cdot9^{\cos x} + 27 = 0$.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-4\pi;-\tfrac{5\pi}{2}\right]$.

Источник: Основная волна ЕГЭ-2017

В основании правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$ лежит треугольник $ABC$. На прямой $AA_1$ выбрана точка $G$ так, что $A_1$ является серединой отрезка $AG$. На прямой $B_1C_1$ отмечена точка $F$ таким образом, что $C_1$ — середина $B_1F$.

а) Доказать, что прямые $A_1B_1$ и $GF$ взаимно перпендикулярны.

б) Найти расстояние между прямыми $AB$ и $GF$, если $AB = 3$ и $AA_1 = 1$.

Источник:БАНКЕГЭ

Решите неравенство: $(\log_{0,25}^2(x + 3) - \log_4(x^2 + 6x + 9) + 1) \cdot \log_4(x + 2) \leq 0$

Для перевозки $490$ маленьких и $31$ большого блока выделен автомобиль грузоподъёмностью $10$ т. По техническим условиям за одну поездку автомобиль может перевозить груз, габариты которого соответствуют не более чем $40$ маленьким блокам. По габаритам один большой блок занимает столько же места, сколько $15$ маленьких блоков.

Большой блок весит $3{,}4$ т, а маленький блок — $0{,}2$ т. Какое минимальное количество поездок потребуется для перевозки всех блоков?

К окружности с диаметром $AB = 10$ проведена касательная $BC$ так, что $BC = 5$. Прямая $AC$ вторично пересекает окружность в точке $D$. Точка $E$ окружности диаметрально противоположна точке $D$. Прямые $ED$ и $BC$ пересекаются в точке $F$.

а) Докажите, что $BD^2=CD\cdot BE$.

б) Найдите площадь треугольника $FBE$.

Источник: ЕГЭ 2020, резервная волна

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $$\sqrt{5x - 3}\cdot\ln(3x - a) = \sqrt{5x - 3}\cdot\ln(4x + a)$$ имеет ровно один корень на отрезке $[0; 1]$.

Дано натуральное число. Можно либо вычесть из него утроенную сумму его цифр, либо прибавить к нему утроенную сумму его цифр. При этом полученное число должно быть натуральным.

a) Можно ли с помощью таких операций из числа 128 получить число 29?

б) Можно ли с помощью таких операций из числа 128 получить число 31?

в) Какое наименьшее натуральное число можно получить из 128 с помощью таких операций?