Демовариант №6

Периметр прямоугольника равен 28, а диагональ равна 10. Найдите площадь этого прямоугольника.

Источник: Банк ФИПИ

Даны векторы $\vec a(-1; 3), \vec b(4; 1)$ и $\vec c(2; c_0)$. Найдите $c_0$, если $(\vec a + \vec b)\cdot \vec c = 0$.

Источник: Сборник И.В, Ященко 2026 г. Вариант 35.

Даны два шара. Радиус первого шара в 2 раза больше радиуса второго. Во сколько раз площадь поверхности первого шара больше площади поверхности второго?

Источник: БАНК ФИПИ.

В классе 16 учащихся, среди них два друга — Вадим и Сергей. Учащихся случайным образом разбивают на 4 равные группы. Найдите вероятность того, что Вадим и Сергей окажутся в одной группе.

Источник: Решу ЕГЭ, пробный ЕГЭ 2018.

Чтобы пройти в следующий круг соревнований, футбольной команде нужно набрать хотя бы 4 очка в двух играх. Если команда выигрывает, она получает 3 очка, в случае ничьей — 1 очко, если проигрывает — 0 очков. Найдите вероятность того, что команде удастся выйти в следующий круг соревнований. Считайте, что в каждой игре вероятности выигрыша и проигрыша одинаковы и равны 0,4.

Источник: БАНК ФИПИ.

В магазине установлены два платёжных терминала. Вероятность того, что в течение дня первый терминал выйдет из строя, равна $0{,}15$, а вероятность выхода из строя второго терминала равна $0{,}4$. Считая эти события независимыми, найдите математическое ожидание числа терминалов, которые выйдут из строя.

Найдите корень уравнения: $\log_5 (5 - x) = \log_5 3$

Источник: Банк ФИПИ

Найдите значение выражения $\left(4x^2+y^2-\left(2x-y\right)^2\right):\left(2xy\right)$.

Источник: Банк ФИПИ

На рисунке изображён график функции ${y=f\left(x\right)}$, определённой на интервале $\left(-8; 3\right)$. Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции ${y=f\left(x\right)}$ параллельна прямой $y=18$.

Источник: Банк ФИПИ

При движении ракеты её видимая для неподвижного наблюдателя длина, измеряемая в метрах, сокращается по закону: $$l = l_0 \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}},$$ где $l_0 = 5 \, \text{м}$ — длина покоящейся ракеты, $c = 3 \cdot 10^5 \, \text{км/с}$ — скорость света, а $v$ — скорость ракеты (в км/с). Какова должна быть минимальная скорость ракеты, чтобы её наблюдаемая длина стала не более 4 м? Ответ выразите в км/с.

Источник: БАНК ФИПИ

Вере надо подписать $640$ открыток. Ежедневно она подписывает на одно и то же количество открыток больше по сравнению с предыдущим днем. Известно, что за первый день Вера подписала $10$ открыток. Определите, сколько открыток было подписано за четвертый день, если вся работа была выполнена за $16$ дней.

Источник: БАНК ФИПИ

На рисунке изображён график функции $f(x) = \frac{k}{x} + a$. Найдите, при каком значении $x$ значение функции равно $0{,}8$.

Источник: БАНК ФИПИ

5 января был выдан кредит. В таблице представлен график его погашения. Долг указан в процентах от первоначальной суммы кредита непосредственно после очередного платежа.

В конце каждого месяца, начиная с января, текущий долг увеличивается на $6\%$. Выплаты по погашению кредита производятся в первой половине каждого месяца, начиная с февраля. На сколько процентов общая сумма выплат при таких условиях больше первоначальной суммы кредита?

a) Решите уравнение: $1 + \log_2(9x^2 + 5) = \log_{\sqrt2}\sqrt{8x^4 + 14}$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-1; \frac{8}{9}\right]$

Источник: Основная волна ЕГЭ-2013

Дан тетраэдр $ABCD$. На ребре $AC$ выбрана точка $K$ так, что $AK : KC = 3:7$. Также на рёбрах $AD$, $BD$ и $BC$ выбраны точки $L$, $M$ и $N$ соответственно так, что $KLMN$ — квадрат со стороной $3$

а) Докажите, что рёбра $AB$ и $CD$ взаимно перпендикулярны.

б) Найдите расстояние от точки $B$ до плоскости $KLMN$, если объём тетраэдра $ABCD$ равен $100$

Источник: ЕГЭ 2023, досрочная волна

Решите неравенство: $\log_{6x^2 - 5x + 1}2 > \log_{\sqrt{6x^2 - 5x + 1}}2$

Источник: ФИПИ

В двух областях работают по $100$ человек, каждый из которых готов трудиться по $8$ часов в сутки на добыче алюминия или никеля.

В первой области один рабочий за час добывает $0{,}3$ кг алюминия или $0{,}1$ кг никеля.

Во второй области для добычи $x$ кг алюминия требуется $x^2$ человеко-часов, а для добычи $y$ кг никеля требуется $y^2$ человеко-часов.

Для нужд производства алюминий и никель полностью взаимозаменяемы. Какую наибольшую суммарную массу металлов можно добыть в двух областях за сутки?

Точка $O$ — центр вписанной в треугольник $ABC$ окружности. Прямая $OB$ вторично пересекает описанную около этого треугольника окружность в точке $P$.

a) Докажите, что $\angle POC = \angle PCO$.

б) Найдите площадь треугольника $APC$, если радиус описанной около треугольника $ABC$ окружности равен $4$, а $\angle ABC = 120^\circ$.

Найдите все значения параметра $a$, при которых уравнение $$(|x - 2a - 1| + |x - 2a + 1|)^2 + a(|x - 2a - 1| + |x - 2a + 1|) + a^2 -48 = 0$$

имеет ровно два различных корня.

Источник: Основная волна ЕГЭ-2025

Даны $n$ различных натуральных чисел, составляющих арифметическую прогрессию $(n \geq 3)$.

а) Может ли сумма всех данных чисел быть равной $13$?

б) Каково наибольшее значение $n$, если сумма всех данных чисел меньше $500$?

в) Найдите все возможные значение $n$, если сумма всех данных чисел равна $57$.