Демовариант №4

В треугольнике $ABC$ угол $A$ равен $60^\circ$, угол $B$ равен $82^\circ$. $AD$, $BE$ и $CF$ — биссектрисы, пересекающиеся в точке $O$. Найдите угол $AOF$. Ответ дайте в градусах.

Источник: Банк ФИПИ

Найдите найдите скалярное произведение векторов $\vec a$ и $\vec b$.

Источник: БАНК ФИПИ.

Площадь поверхности куба равна 24. Найдите его объем.

Источник: БАНК ФИПИ.

На чемпионате по прыжкам в воду выступают 25 спортсменов, среди них 8 прыгунов из России и 9 прыгунов из Парагвая. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что шестым будет выступать прыгун из Парагвая.

Источник: РЕШУ ЕГЭ

В коробке 8 синих, 6 красных и 11 зелёных фломастеров. Случайным образом выбирают два фломастера. Какова вероятность того, что окажутся выбраны один синий и один красный фломастер?

Источник: ЕГЭ по математике 2025. Пересдача.

В таблице показаны возможные выигрыши в беспроигрышной денежной лотерее и количества соответствующих билетов. Цена одного билета равна $60$ рублей. Всего выпущено $5000$ билетов. Участник покупает один случайный билет. На сколько рублей цена билета выше математического ожидания выигрыша?

Решите уравнение

$$5^{x-11}=\frac{1}{25}.$$ Источник: ЕГЭ 2026. Основная волна. Дальний Восток

Найдите значение выражения $\log_{0,25}2$.

Источник: Банк ФИПИ

Прямая ${y=-\,4x-11}$ является касательной к графику функции $y=x^3+7x^2+7x-6$. Найдите абсциссу точки касания.

Источник: БАНК ФИПИ.

Для получения на экране увеличенного изображения лампочки в лаборатории используется собирающая линза с фокусным расстоянием $f = 30 \, \text{см}$. Расстояние $d_1$ от линзы до лампочки может изменяться в пределах от 20 до 40 см, а расстояние $d_2$ от линзы до экрана — в пределах от 160 см до 180 см. Изображение на экране будет чётким, если выполнено соотношение

$$\frac{1}{d_1} + \frac{1}{d_2} = \frac{1}{f}.$$

На каком наименьшем расстоянии от линзы нужно разместить лампочку, чтобы её изображение на экране было чётким? Ответ дайте в сантиметрах.

Источник: БАНК ФИПИ.

Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в город В, расстояние между которыми равно $98$ км. На следующий день он отправился обратно со скоростью на $7$ км/ч больше прежней. По дороге он сделал остановку на $7$ часов. В результате он затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В. Найдите скорость велосипедиста на пути из А в В. Ответ дайте в км/ч.

Источник: ЕГЭ 2021. Основная волна, резервный день.

На рисунке изображены графики двух линейных функций, пересекающиеся в точке $A$ . Найдите абсциссу точки $A$.

Источник: БАНК ФИПИ

При открытии вклада на сумму $1000$ тысяч рублей сроком на $3$ года банк предлагает два варианта. Первый вариант — фиксированная ставка $8\%$ годовых на весь срок. При втором варианте ставка в первый год составляет $6\%$ годовых, а каждый следующий год увеличивается на $2$ процентных пункта. Определите, при выборе какого варианта к концу третьего года сумма на вкладе окажется большей. В ответе укажите разницу между суммами вкладов к концу третьего года в рублях.

а) Решите уравнение: $2\sin^2x + \sqrt{2}\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = \cos x$.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-2\pi; -\frac{\pi}{2}\right]$.

Источник: Банк ЕГЭ

Основанием прямой треугольной призмы $ABC A_{1}B_{1}C_{1}$ является прямоугольный треугольник $ABC$, причем $\angle C = 90^\circ$. Диагонали боковых граней $AA_{1}B_{1}B$ и $BB_{1}C_{1}C$ равны соответственно $26$ и $10$, $AB = 25$.

а)Докажите, что $\triangle B A_{1} C_{1}$ — прямоугольный.

б) Найдите объем пирамиды $A A_{1} C_{1} B$.

Источник: ЕГЭ 2017, основная волна

Решите неравенство

$$3^x-8-\frac{2\cdot 3^{x+1}-19}{9^x-5\cdot 3^x+6}\le \frac{1}{3^x-3}.$$

Источник: ЕГЭ 2024, основная волна, Сибирь

В двух шахтах добывают алюминий и никель. В первой шахте работают $30$ человек, каждый из которых готов трудиться по $5$ часов в день. Один рабочий за час добывает $2$ кг алюминия или $4$ кг никеля.

Во второй шахте работают $72$ человека, каждый из которых готов трудиться по $5$ часов в день. Один рабочий за час добывает $5$ кг алюминия или $1$ кг никеля.

Обе шахты поставляют металл на завод, где производят сплав, содержащий $3$ кг алюминия на каждый $1$ кг никеля. Какую наибольшую массу сплава может ежедневно производить завод?

В прямоугольном треугольнике $ABC$ точки $M$ и $N$ - середины гипотенузы $AB$ и катета $BC$ соответственно. Биссектриса угла $BAC$ пересекает прямую $MN$ в точке $L$.

а) Докажите, что треугольники $AML$ и $BLC$ подобны.

б) Найдите отношение площадей этих треугольников, если $\cos\angle BAC=\frac{7}{25}$.

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $$a^2 - 9x^2 + 18|x| - 9 = 0$$ имеет ровно два различных корня.

Источник: Досрочная волна ЕГЭ-2020

В течение n дней каждый день на доску записывают натуральные числа, каждое из которых меньше $6$. При этом каждый день (кроме первого) сумма чисел, записанных на доску в этот день, больше, а количество меньше, чем в предыдущий день.

а) Может ли $n$ быть больше $5$?

б) Может ли среднее арифметическое чисел, записанных в первый день, быть меньше $3$, а среднее арифметическое всех чисел, записанных за все дни, быть больше $4$?

в) Известно, что сумма чисел, записанных в первый день, равна $6$. Какое наибольшее значение может принимать сумма всех чисел, записанных за все дни?

Источник: Досрочная волна ЕГЭ-2020