Тип 17 № 20952

В первой шахте имеется

$$30\cdot5=150$$

человеко-часов, а во второй шахте —

$$72\cdot5=360$$

человеко-часов.

Пусть $x$ человеко-часов в первой шахте и $y$ человеко-часов во второй шахте затрачено на добычу алюминия.

Масса добытого алюминия равна

$$2x+5y.$$

Масса добытого никеля равна

$$4(150-x)+(360-y)=960-4x-y.$$

Алюминия в сплаве должно быть в три раза больше, чем никеля:

$$2x+5y=3(960-4x-y).$$

Раскроем скобки:

$$2x+5y=2880-12x-3y,$$

$$14x+8y=2880,$$

$$7x+4y=1440.$$

Отсюда

$$x=\frac{1440-4y}{7}.$$

Масса сплава в четыре раза больше массы никеля:

$$s=4(960-4x-y).$$

Подставим выражение для $x$:

$$s=4\left(960-4\cdot\frac{1440-4y}{7}-y\right).$$

После преобразования получаем

$$s=\frac{3840+36y}{7}.$$

Функция возрастает при увеличении $y$. При этом

$$0\leq y\leq360.$$

Из условия $x\geq0$ также следует

$$1440-4y\geq0,$$

$$y\leq360.$$

Поэтому наибольшее значение достигается при

$$y=360,\qquad x=0.$$

Тогда первая шахта будет добывать только никель, а вторая — только алюминий.

Масса никеля составит

$$4\cdot150=600\text{ кг},$$

а масса алюминия —

$$5\cdot360=1800\text{ кг}.$$

Общая масса сплава равна

$$600+1800=2400\text{ кг}.$$