Демовариант №1

В треугольнике $ABC$ угол $A$ равен $60^\circ$, угол $B$ равен $82^\circ$. $AD$, $BE$ и $CF$ — биссектрисы, пересекающиеся в точке $O$. Найдите угол $AOF$. Ответ дайте в градусах.

Источник: Банк ФИПИ

Даны векторы $\vec a(5; -2)$ и $\vec b(-3; 4)$. Найдите длину вектора $\vec a - \vec b$

Источник: ЕГЭ 2026. Основная волна. Дальний Восток

Через среднюю линию основания треугольной призмы, проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите площадь боковой поверхности призмы, если площадь боковой поверхности отсеченной треугольной призмы равна 37.

В сборнике билетов по математике всего 75 билетов, в 12 из них встречается вопрос по теме «Логарифмы». Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопрос по теме «Логарифмы».

Источник: ЕГЭ 2026. Основная волна. Дальний Восток

В торговом центре два одинаковых автомата продают жвачку. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится жвачка, равна 0,4. Вероятность того, что жвачка закончится в обоих автоматах, равна 0,2. Найдите вероятность того, что к концу дня жвачка останется в обоих автоматах.

Источник: ЕГЭ 2026. Основная волна. Сибирь

В таблице показано распределение случайной величины $X$. Найдите $\operatorname{E}(X)$ — математическое ожидание этой случайной величины.

Найдите корень уравнения: $\left(\frac{1}{2}\right)^{6 - 2x} = 4$

Источник: Банк ФИПИ

Найдите значение выражения $\log_{5}60 - \log_{5}12$.

Источник: Банк ФИПИ

На рисунке изображён график функции $y=f\left(x\right)$, определённой на интервале $\left(-5; 5\right)$. Определите количество целых точек, в которых производная функции $f\left(x\right)$ отрицательна.

Источник: Банк ФИПИ

По закону Ома для полной цепи сила тока ($I$, А) равна: $I = \frac{\varepsilon}{R + r},$ где $\varepsilon$ — ЭДС источника (В), $r = 1\ \text{Ом}$ — внутреннее сопротивление, $R$ — сопротивление цепи (Ом). При каком наименьшем $R$ сила тока будет не более $20\%$ от тока короткого замыкания $I_{\text{кз}} = \varepsilon/r$?

Источник: БАНК ФИПИ

Моторная лодка прошла против течения реки $112$ км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на $6$ часов меньше. Найдите скорость течения, если скорость лодки в неподвижной воде равна $11$ км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Источник: БАНК ФИПИ

На рисунке изображены графики функций $f(x) = -3x + 13$ и $g(x) = ax^2 + bx + c$, которые пересекаются в точках $A$ и $B$. Найдите ординату точки $B$.

Источник: БАНК ФИПИ

Был открыт вклад на сумму $100$ миллионов рублей сроком на $3$ года. В конце каждого года банк увеличивает находящуюся на вкладе сумму на $10\%$. Кроме того, в начале каждого года, начиная со второго, вклад пополняется на $20$ миллионов рублей. Определите сумму, которая будет находиться на вкладе к концу третьего года. Ответ дайте в миллионах рублей.

а) Решите уравнение

$$2\sin 2x+2\sin(-x)+2\cos(-x)-1=0.$$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

$$\left[-4\pi;-\frac{5\pi}{2}\right].$$

В основании треугольной пирамиды $SABC$ лежит прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$. Основанием высоты $SO$ этой пирамиды является середина ребра $AB$.

a) Докажите, что $SA=SC$.

б) Найдите угол между плоскостями $(SAC)$ и $(ABC)$, если $AC=16$, $AB=20$, $SA=26$.

Источник: ЕГЭ 2025, досрочная волна

Решите неравенство: $45^x \cdot 27 - 27^{x + 1} - 12 \cdot 15^x + 12 \cdot 9^x + 5^x - 3^x \leq 0$

Источник: Основная волна ЕГЭ-2020

На первом заводе работают $88$ человек. Один рабочий изготавливает за смену либо $2$ детали типа $A$, либо $1$ деталь типа $B$.

На втором заводе работают $144$ человека. Для изготовления $t$ деталей любого типа на этом заводе требуется $t^2$ человеко-смен.

Оба завода поставляют детали на комбинат, где собирают изделия. Для изготовления одного изделия требуются $1$ деталь типа $A$ и $2$ детали типа $B$. Заводы распределяют работников так, чтобы комбинат смог собрать наибольшее количество изделий. Сколько изделий можно собрать за смену?

В остроугольном треугольнике ABC провели высоту $CC_1$ и медиану $AA_1$ . Оказалось, что точки $A,A_1,C,C_1$ лежат на одной окружности.

а)Докажите, что треугольник ABC равнобедренный.

б) Найдите площадь треугольника ABC, если $AA_1:CC_1=5:4$ и $A_1C_1=4$.

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $$x^2 + a^2 + x - 7a = |7x + a|$$ имеет более двух различных корней.

Источник: Основная волна ЕГЭ-2022

Водолазный колокол, содержащий $v=2$ моля воздуха при давлении $p_1=1{,}75$ атмосферы, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного давления $p_2$. Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, определяется выражением $$A=\alpha vT\log_2\frac{p_2}{p_1},$$ где $\alpha=13{,}3 \, \dfrac{\text{Дж}}{\text{моль}\cdot\text{К}}$ — постоянная, $T=300\text{ К}$ — температура воздуха. Найдите, какое давление (в атм) будет иметь воздух в колоколе, если при сжатии воздуха была совершена работа в $15\,960$ Дж.