Тип 19 № 11097

Данное уравнение равносильно совокупности: $$\left[\begin{aligned} &\begin{cases} a < -7x\\ x^2 + a^2 + x - 7a + 7x + a = 0 \end{cases}\\ &\begin{cases} a \geq -7x\\ x^2 + a^2 + x - 7a - 7x - a = 0 \end{cases} \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &\begin{cases} a < -7x\\ (x + 4)^2 + (a - 3)^2 = 5^2 \end{cases}\\ &\begin{cases} a \geq -7x\\ (x - 3)^2 + (a - 4)^2 = 5^2 \end{cases} \end{aligned}\right.$$

Получаем, что в системе координат $XOA$ данное уравнение задаёт две неполные окружности, центры которых расположены в точках $(-4; 3), (3; 4)$.

Найдём точки, в которых окружности пересекаются вместе с прямой $a = -7x$. Для этого подставим $x = -\frac{a}{7}$ например в первое уравнение окружности: $$\frac{a^2}{49} - \frac{8a}{7} + 16 + a^2 - 6a + 9 = 25 \Leftrightarrow\frac{50a^2}{49} - \frac{50a}{7} = 0 \Leftrightarrow a^2 - 7a = 0 \Leftrightarrow a = 0 \text{ или } a = 7$$ Подставляя полученные значения в уравнения прямой $a = -7x$, получаем точки: $(0; 0), (-1; 7)$.

Каждое значение параметра в данной системе координат представляет собой горизонтальную прямую. Каждая точка пересечения такой горизонтальной прямой с окружностью дает ровно 1 решение для исходного уравнения.

Построим графики функций и отметим ключевые случаи:

Рассмотрим случаи последовательно. Начиная с $a = -1$, где горизонтальная прямая касается правой окружности снизу и до момента, пока прямая не дойдёт до первой общей точки окружностей, мы будем иметь более двух решений.

Затем мы будем иметь ровно 2 решения до тех пор, пока горизонтальная прямая не пересечёт вторую общую точку окружностей. Мы будем получать более двух решений снова, пока не дойдём до момента, когда горизонтальная прямая коснётся левой окружности сверху.

Далее мы будем получать не более двух решений. В итоге получаем значения параметра:

$$a \in [-1; 0] \cup [7; 8]$$

Ответ: $[-1; 0] \cup [7; 8]$