Дальний восток.

Острый угол $B$ прямоугольного треугольника $ABC$ равен $61^\circ$. Найдите угол между высотой $CH$ и биссектрисой $CD$, проведёнными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.

Источник: Банк ФИПИ

Даны векторы $\vec a(5; -7)$ и $\vec b(14; 1)$. Найдите скалярное произведение $\vec a \cdot \vec b$.

Около конуса описана сфера. Центр сферы совпадает с центром основания конуса. Радиус сферы равен $28\sqrt{2}$. Найдите образующую конуса.

Источник: Банк ФИПИ

На олимпиаде по истории 400 участников разместили в трёх аудиториях. В первых двух удалось разместить по 150 человек, оставшихся перевели в запасную аудиторию в другом корпусе. Найдите вероятность того, что случайно выбранный участник писал олимпиаду в запасной аудитории.

В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в первом автомате закончится кофе, равна 0,3. Вероятность того, что кофе закончится во втором автомате, такая же. Вероятность того, что кофе закончится в двух автоматах равна 0,12. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в двух автоматах.

Источник: БАНК ФИПИ

Решите уравнение $5^{x-2} = 125$.

На рисунке изображён график функции $y=f(x)$ и касательная к нему в точке с абсциссой $x_0$. Найдите значение производной функции $f(x)$ в точке $x_0$.

Гоночный автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным ускорением $a$ км/ч$^2$. Скорость $v$ в конце пути вычисляется по формуле $v = \sqrt{2la}$, где $l$ — пройденный автомобилем путь в км. Определите ускорение, с которым должен двигаться автомобиль, чтобы, проехав 1000 метров, приобрести скорость $100 \, \text{км}/\text{ч}^2$. Ответ выразите в км/ч$^2$.

От пристани А к пристани В, расстояние между которыми равно $110$ км, отправился с постоянной скоростью первый теплоход, а через $1$ час после этого следом за ним, со скоростью на $1$ км/ч большей, отправился второй. Найдите скорость второго теплохода, если в пункт В он прибыл одновременно с первым. Ответ дайте в км/ч.

Источник: ЕГЭ 2025. Основная волна.

На рисунке изображены графики функций видов $f(x) = \frac{k}{x}$ и $g(x) = ax + b$, пересекающиеся в точках $A$ и $B$. Найдите абсциссу точки $B$.

Найдите точку минимума функции $y= x^3 -12x^2 +36x + 30$.

а) Решите уравнение: $\sin 2x + 2\cos\left(x - \frac{\pi}{2}\right) = \sqrt{3}\cos x + \sqrt{3}$.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-3\pi; -\frac{3\pi}{2}\right]$.

Источник: Банк ЕГЭ

В правильной треугольной призме $ABC A_1B_1C_1$ отметили точки $M$ и $K$ на рёбрах $AA_1$ и $A_1B_1$ соответственно. Известно, что $AM = 5MA_1$, $A_1K = KB_1$. Через точки $M$ и $K$ провели плоскость $\alpha$, перпендикулярную грани $ABB_1A_1$.

a) Докажите, что плоскость $\alpha$ проходит через вершину $C_1$.

б) Найдите площадь сечения призмы $ABC A_1B_1C_1$ плоскостью $\alpha$, если все рёбра призмы равны $12$.

Источник: ЕГЭ 2025, основная волна

Решите неравенство $\frac{2^{3x} - 2\cdot4^{x + 1} + 5\cdot2^{x + 2} - 16}{x - 1} \geq 0$

15 декабря 2025 года планируется взять кредит в банке на сумму 6 миллионов рублей на 24 месяца. Условия его возврата таковы:

— 1-⁠го числа каждого месяца долг возрастает на 3$\%$ по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-⁠го по 14-⁠е число каждого месяца необходимо одним платежом оплатить часть долга;

— 15-⁠го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-⁠е число предыдущего месяца;

— к 15 декабря 2027 года кредит должен быть полностью погашен.

Чему равна общая сумма платежей в 2027 году?

Дан остроугольный треугольник $ABC$. Известно, что точка $O$ — центр описанной окружности треугольника $ABC$, а $\angle BAC = 2\angle ABC$. Вокруг треугольника $AOC$ описана окружность, которая пересекает сторону $BC$ в точке $P$.

а) Докажите, что треугольники $ABC$ и $PAC$ подобны.

б) Найдите $AB$, если $BC = 6$ и $AC = 4$.

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение

$$a\left(x +\frac{1}{x}\right)^2 + 5\left(x + \frac{1}{x}\right) -9a + 15 = 0$$

имеет ровно два различных корня.

На доске записано $k$ последовательных натуральных чисел. Оказалось, что среди них чисел, делящихся на $20$, меньше, чем чисел, делящихся на $23$.

а) Могло ли среди записанных чисел быть ровно три числа, делящихся на $20$?

б) Могло ли среди записанных чисел быть ровно десять чисел, делящихся на $20$?

в) Найдите наибольшее возможное значение $k$.