Решение:
Сделаем замену t = ∣ x − a − 1 ∣ + ∣ x − a + 1 ∣ t = |x- a - 1| + |x - a + 1| t = ∣ x − a − 1∣ + ∣ x − a + 1∣
t 2 + a t + a 2 − 16 = 0 t^2 +at + a^2 - 16 = 0 t 2 + a t + a 2 − 16 = 0
Построим график зависимости t t t x x x
{ t = − 2 x + 2 a , при x ≤ a − 1 t = 2 , при a − 1 < x < a + 1 t = 2 x − 2 a , при x ≥ a + 1 \begin{cases}
t = -2x + 2a, \text{ при }x \leq a - 1\\
t = 2, \text{ при } a - 1 < x < a + 1\\
t = 2x - 2a, \text{ при } x \geq a + 1 \\
\end{cases} ⎩ ⎨ ⎧ t = − 2 x + 2 a , при x ≤ a − 1 t = 2 , при a − 1 < x < a + 1 t = 2 x − 2 a , при x ≥ a + 1
Строим график:
Заметим, что при:
t < 2 t < 2 t < 2
t = 2 t = 2 t = 2
t > 2 t > 2 t > 2 t t t
Исходное уравнение будет иметь ровно 2 решения, если:
a) Квадратное уравнение t 2 + a t + a 2 − 16 = 0 t^2 +at + a^2 - 16 = 0 t 2 + a t + a 2 − 16 = 0 2 2 2
б) Квадратное уравнение t 2 + a t + a 2 − 16 = 0 t^2 +at + a^2 - 16 = 0 t 2 + a t + a 2 − 16 = 0 2 2 2 2 2 2
Последовательно рассмотрим данные случаи:
а) Зададим необходимые условия и составим систему:
{ D = 0 t 0 > 2 ⇔ { a 2 − 4 a 2 + 64 = 0 − a 2 > 2 ⇔ { 3 a 2 − 64 = 0 a < − 4 ⇔ \begin{cases}
D = 0\\
t_{0} > 2
\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}
a^2 - 4a^2+ 64 = 0\\
-\tfrac{a}{2} > 2
\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}
3a^2 - 64 = 0\\
a < -4
\end{cases} \Leftrightarrow { D = 0 t 0 > 2 ⇔ { a 2 − 4 a 2 + 64 = 0 − 2 a > 2 ⇔ { 3 a 2 − 64 = 0 a < − 4 ⇔ ⇔ { a = ± 8 3 3 a > 4 ⇔ a = − 8 3 3 \Leftrightarrow \begin{cases}
a = \pm\frac{8\sqrt3}{3}\\
a > 4
\end{cases} \Leftrightarrow a = -\frac{8\sqrt3}{3} ⇔ { a = ± 3 8 3 a > 4 ⇔ a = − 3 8 3
б) Графиком квадратичной функции t 2 − a t + a 2 − 16 t^2 -at + a^2 - 16 t 2 − a t + a 2 − 16 t 2 + a t + a 2 − 16 = 0 t^2 + at + a^2 - 16 = 0 t 2 + a t + a 2 − 16 = 0 t = 2 t = 2 t = 2 f ( t ) = t 2 + a t + a 2 − 16 f(t) = t^2 + at + a^2 - 16 f ( t ) = t 2 + a t + a 2 − 16
f ( 2 ) < 0 ⇔ 4 + 2 a + a 2 − 16 < 0 ⇔ a 2 + 2 a − 12 < 0 ⇔ f(2) < 0 \Leftrightarrow 4 +2a + a^2 - 16 < 0 \Leftrightarrow a^2 +2a - 12 < 0 \Leftrightarrow f ( 2 ) < 0 ⇔ 4 + 2 a + a 2 − 16 < 0 ⇔ a 2 + 2 a − 12 < 0 ⇔ ⇔ { a < − 1 + 13 a > − 1 − 13 \Leftrightarrow \begin{cases}
a < -1 + \sqrt{13}\\
a > -1 - \sqrt{13}
\end{cases} ⇔ { a < − 1 + 13 a > − 1 − 13
Объединяя полученные значения, получаем:
( − 1 − 13 ; − 1 + 13 ) ∪ { − 8 3 3 } (-1 - \sqrt{13}; -1 + \sqrt{13}) \cup \left\{-\frac{8\sqrt3}{3}\right\} ( − 1 − 13 ; − 1 + 13 ) ∪ { − 3 8 3 }
Ответ: ( − 1 − 13 ; − 1 + 13 ) ∪ { − 8 3 3 } (-1 - \sqrt{13}; -1 + \sqrt{13}) \cup \left\{-\frac{8\sqrt3}{3}\right\} ( − 1 − 13 ; − 1 + 13 ) ∪ { − 3 8 3 }
