Тип 14 № 22803

Решение:

Преобразуем уравнение, используя формулу приведения $\sin(x - \pi) = -\sin x$:

$$2 - 2\cos^2x + \sqrt2\sin x = \sqrt2 + 2\sin x.$$

Перенесём все члены в левую часть:

$$2 - 2\cos^2x + \sqrt2\sin x - \sqrt2 - 2\sin x = 0.$$

Сгруппируем:

$$(2 - \sqrt2) - 2\cos^2x + (\sqrt2 - 2)\sin x = 0.$$

Так как $\cos^2x = 1 - \sin^2x$, получаем:

$$(2 - \sqrt2) - 2(1 - \sin^2x) + (\sqrt2 - 2)\sin x = 0.$$

$$2 - \sqrt2 - 2 + 2\sin^2x + (\sqrt2 - 2)\sin x = 0.$$

$$2\sin^2x + (\sqrt2 - 2)\sin x - \sqrt2 = 0.$$

Разложим левую часть на множители методом группировки:

$$2\sin^2x + \sqrt2\sin x - 2\sin x - \sqrt2 = 0.$$

Сгруппируем:

$$(2\sin^2x + \sqrt2\sin x) - (2\sin x + \sqrt2) = 0.$$

$$\sin x(2\sin x + \sqrt2) - 1(2\sin x + \sqrt2) = 0.$$

$$(2\sin x + \sqrt2)(\sin x - 1) = 0.$$

$$2\sin x + \sqrt2 = 0 \quad \text{или} \quad \sin x - 1 = 0.$$

$$\sin x = -\frac{\sqrt2}{2} \quad \text{или} \quad \sin x = 1.$$

$$x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k, \quad x = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi k, \quad x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}.$$

б) Отберём корни на отрезке $\left[-2\pi; -\frac{\pi}{2}\right]$:

$$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k: \quad k = -1 \Rightarrow x = -\frac{3\pi}{2} \in \left[-2\pi; -\frac{\pi}{2}\right].$$

$$x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k: \quad \text{подходящих } k \text{ нет}.$$

$$x = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi k: \quad k = 0 \Rightarrow x = -\frac{3\pi}{4} \in \left[-2\pi; -\frac{\pi}{2}\right].$$

Корни, принадлежащие отрезку: $$-\frac{3\pi}{2}; \quad -\frac{3\pi}{4}.$$

Ответ:

а) $-\frac{\pi}{4} + 2\pi k; -\frac{3\pi}{4} + 2\pi k; \frac{\pi}{2} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z};$

б)$-\frac{3\pi}{2}; -\frac{3\pi}{4}$.