Тип 14 № 22704

Решение:

Преобразуем уравнение, используя формулу приведения $\sin\left(x - \frac{\pi}{2}\right) = -\cos x$:

$$4\cos^3x + 3(-\cos x) = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad 4\cos^3x - 3\cos x = 0.$$

Вынесем $\cos x$ за скобки:

$$\cos x (4\cos^2x - 3) = 0.$$

Получаем совокупность:

$$\cos x = 0 \quad \text{или} \quad 4\cos^2x - 3 = 0.$$

Из первого уравнения:

$$\cos x = 0 \quad\Rightarrow\quad x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}.$$

Из второго уравнения:

$$4\cos^2x = 3 \quad\Rightarrow\quad \cos^2x = \frac{3}{4} \quad\Rightarrow\quad \cos x = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}.$$

Тогда:

$$\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2} \quad\Rightarrow\quad x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi k,$$ $$\cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2} \quad\Rightarrow\quad x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi k.$$

Таким образом, общее решение:

$$x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi k, \quad x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}.$$

б) Отберём корни на отрезке $[-2\pi; -\pi]$ при помощи тригонометрической окружности.

Ответ:

а)$\frac{\pi}{2} + \pi k; \ \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi k; \ \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, \ k \in \mathbb{Z};$

б) $-\frac{11\pi}{6}; \ -\frac{3\pi}{2}; \ -\frac{7\pi}{6}$.