Тип 14 № 22604

Решение:

Преобразуем уравнение, используя $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$: $$2\cos^3 x - 2\cos x + 1 - \cos^2 x = 0.$$ $$2\cos^3 x - \cos^2 x - 2\cos x + 1 = 0.$$ Сгруппируем слагаемые: $$(2\cos^3 x - \cos^2 x) - (2\cos x - 1) = 0.$$ $$\cos^2 x(2\cos x - 1) - (2\cos x - 1) = 0.$$ $$(2\cos x - 1)(\cos^2 x - 1) = 0.$$ $$(2\cos x - 1)(\cos x - 1)(\cos x + 1) = 0.$$

Получаем совокупность: $$\left[ \begin{aligned} &\cos x = \frac{1}{2},\\ &\cos x = 1,\\ &\cos x = -1. \end{aligned} \right.$$

Решения: $$\cos x = 1 \quad \Rightarrow \quad x = 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z},$$ $$\cos x = -1 \quad \Rightarrow \quad x = \pi + 2\pi k = (2k+1)\pi, \quad k \in \mathbb{Z}.$$ Эти два случая можно объединить: $$x = \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}.$$ $$\cos x = \frac{1}{2} \quad \Rightarrow \quad x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}.$$

Таким образом, $$\boxed{x = \pi k,\; x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}.}$$ б) Отберём корни на отрезке $\left[\dfrac{3\pi}{2}; 3\pi\right]$} при помощи тригонометрической окружности.

Итак, корни, принадлежащие отрезку: $$\boxed{\frac{5\pi}{3},\; 2\pi,\; \frac{7\pi}{3},\; 3\pi.}$$

Ответ:

а) $x = \pi k,\; x = \pm \dfrac{\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$;
б) $\dfrac{5\pi}{3};\; 2\pi;\; \dfrac{7\pi}{3};\; 3\pi$.