Тип 14 № 21130

Решение:

Преобразуем уравнение, используя формулу приведения $\sin(x + \pi) = -\sin x$:

$$1 - \cos2x - \sqrt3\sin x = \sqrt3 - 2\sin x.$$

Перенесём все члены в левую часть:

$$1 - \cos2x - \sqrt3\sin x - \sqrt3 + 2\sin x = 0.$$

$$1 - \sqrt3 - \cos2x + (2 - \sqrt3)\sin x = 0.$$

Так как $\cos2x = 1 - 2\sin^2x$, получаем:

$$1 - \sqrt3 - (1 - 2\sin^2x) + (2 - \sqrt3)\sin x = 0.$$

$$1 - \sqrt3 - 1 + 2\sin^2x + (2 - \sqrt3)\sin x = 0.$$

$$2\sin^2x + (2 - \sqrt3)\sin x - \sqrt3 = 0.$$

Разложим левую часть на множители методом группировки:

$$2\sin^2x + 2\sin x - \sqrt3\sin x - \sqrt3 = 0.$$

Сгруппируем слагаемые:

$$(2\sin^2x + 2\sin x) - (\sqrt3\sin x + \sqrt3) = 0.$$

$$2\sin x(\sin x + 1) - \sqrt3(\sin x + 1) = 0.$$

$$(\sin x + 1)(2\sin x - \sqrt3) = 0.$$

$$\sin x + 1 = 0 \quad \text{или} \quad 2\sin x - \sqrt3 = 0.$$

$$\sin x = -1 \quad \text{или} \quad \sin x = \frac{\sqrt3}{2}.$$

$$x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \quad x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k, \quad x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}.$$

б) Отберём корни на отрезке $\left[\pi; \frac{5\pi}{2}\right]$:

$$x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k: \quad k=1 \Rightarrow \frac{7\pi}{3} \in \left[\pi; \frac{5\pi}{2}\right].$$

$$x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k: \quad k=1 \Rightarrow \frac{8\pi}{3} \notin \left[\pi; \frac{5\pi}{2}\right].$$

$$x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k: \quad k=1 \Rightarrow \frac{3\pi}{2} \in \left[\pi; \frac{5\pi}{2}\right].$$

Корни, принадлежащие отрезку: $$\frac{3\pi}{2}; \quad \frac{7\pi}{3}.$$

Ответ: а) $-\frac{\pi}{2} + 2\pi k; \frac{\pi}{3} + 2\pi k; \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z};$ б) $\frac{3\pi}{2}; \frac{7\pi}{3}$.