Тип 19 № 21104

Решение:

Разберём первое уравнение системы. Оно определено при $$x+3\ge 0,\qquad 7-x>0 \quad\Rightarrow\quad -3\le x<7.$$

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю: $$(y^2-xy+5x-4y-5)\sqrt{x+3}=0.$$ Следовательно, $$\left[ \begin{aligned} &x=-3,\\ &y^2-xy+5x-4y-5=0. \end{aligned} \right.$$

Преобразуем квадратное выражение: $$y^2-xy+5x-4y-5 = y^2 - y(x+4) + 5x -5.$$ Разложим на множители: $$(y-5)(y-x+1)=y^2-xy+y-5y+5x-5 = y^2-xy-4y+5x-5.$$ Таким образом, $$\left[ \begin{aligned} &y=5,\\ &y=x-1. \end{aligned} \right.$$

Итак, первое уравнение равносильно совокупности: $$\left[ \begin{aligned} &x=-3,\\ &y=5,\\ &y=x-1. \end{aligned} \right.$$

С учётом ОДЗ ($-3\le x<7$) и второго уравнения $y=a-x$ система принимает вид: $$\begin{cases} -3\le x<7,\\ y=a-x,\\ \left[ \begin{aligned} &x=-3,\\ &y=5,\\ &y=x-1. \end{aligned} \right. \end{cases}$$

Построим график:

Составим таблицу числа решений для всех промежутков $a$:

$$\begin{array}{c|c} \text{Значение } a & \text{Количество решений} \\ \hline a<-7 & 1 \\ a=-7 & 1 \\ -7<a<2 & 2 \\ a=2 & 2 \\ 2<a<11 & 3 \\ a=11 & 2 \\ 11<a<12 & 3 \\ a=12 & 2 \\ 12<a<13 & 2 \\ a=13 & 1 \\ a>13 & 1 \end{array}$$

Таким образом, ровно два решения получаем при $$a\in (-7;2] \cup \{11\} \cup [12;13).$$

Ответ: $a\in (-7;2] \cup \{11\} \cup [12;13)$.