Тип 14 № 20876

Решение.

а) Выполним преобразования: $$\begin{aligned} \log_9\left(\sqrt{2}\sin x+\sin 2x+9\right)=1 &\Longleftrightarrow \sqrt{2}\sin x+\sin 2x+9=9 \\ &\Longleftrightarrow \sqrt{2}\sin x+\sin 2x=0 \\ &\Longleftrightarrow \sin x\left(2\cos x+\sqrt{2}\right)=0 \\ &\Longleftrightarrow \left[ \begin{aligned} \sin x&=0,\\ 2\cos x+\sqrt{2}&=0 \end{aligned} \right. \\ &\Longleftrightarrow \left[ \begin{aligned} \sin x&=0,\\ \cos x&=-\frac{\sqrt{2}}{2} \end{aligned} \right. \\ &\Longleftrightarrow \left[ \begin{aligned} x&=\pi k,\\ x&=\frac{3\pi}{4}+2\pi k,\\ x&=-\frac{3\pi}{4}+2\pi k, \end{aligned} \right. \qquad k\in\mathbb Z. \end{aligned}$$

б) Отберем корни, принадлежащие отрезку

$$\left[-\frac{7\pi}{2};-2\pi\right]$$ с помощью двойных неравенств. Из первой серии корней:

$$-\frac{7\pi}{2}\leq \pi k\leq -2\pi \Longleftrightarrow -\frac72\leq k\leq -2.$$

Полученному промежутку соответствуют значения $k=-3$ и $k=-2$. Получаем корни $-2\pi$ и $-3\pi$. Отберем корни из второй серии: $$\begin{aligned} -\frac{7\pi}{2} \leq-\frac{3\pi}{4}+2\pi k \leq-2\pi &\Longleftrightarrow -14\pi\leq-3\pi+8\pi k\leq-8\pi \\ &\Longleftrightarrow -11\leq8k\leq-5 \\ &\Longleftrightarrow -\frac{11}{8}\leq k\leq-\frac58. \end{aligned}$$

Полученному промежутку соответствует значение $k=-1$. Получаем корень $-\dfrac{11\pi}{4}$. Отберем корни из третьей серии: $$\begin{aligned} -\frac{7\pi}{2} \leq\frac{3\pi}{4}+2\pi k \leq-2\pi &\Longleftrightarrow -14\pi\leq3\pi+8\pi k\leq-8\pi \\ &\Longleftrightarrow -17\leq8k\leq-11 \\ &\Longleftrightarrow -\frac{17}{8}\leq k\leq-\frac{11}{8}. \end{aligned}$$

Полученному промежутку соответствует значение $k=-2$. Получаем корень $-\dfrac{13\pi}{4}$.

$$Ответ: а) \left\{\pi k;\ \pm\frac{3\pi}{4}+2\pi k:\ k\in\mathbb Z\right\};$$

$$б) -\frac{13\pi}{4};\ -3\pi;\ -\frac{11\pi}{4};\ -2\pi.$$