Тип 16 № 20575

Решение:

Преобразуем неравенство, используя свойства логарифмов. Заметим, что $\log_{25}A = \frac12\log_5 A$.

Получаем:

$$\frac12\log_5((x-4)(x^2 - 2x - 8)) + 1 \geq 0,5\log_5 (x-4)^2$$

Умножим обе части на $2$:

$$\log_5((x-4)(x^2 - 2x - 8)) + 2 \geq \log_5 (x-4)^2 \Leftrightarrow$$

$$(*) \quad (x - 4)^2 > 0 \Leftrightarrow x \neq 4$$

$$\Leftrightarrow \log_5(25(x-4)(x^2 - 2x - 8)) \geq \log_5 (x-4)^2 \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow \log_5(25(x-4)(x^2 - 2x - 8)) - \log_5 (x-4)^2\geq 0$$

По свойству логарифмов:

$$\log_5\left(\frac{25(x-4)(x^2 - 2x - 8)}{(x-4)^2}\right) \geq 0$$

По методу рационализации:

$$(5 - 1)\left(\frac{25(x-4)(x^2 - 2x - 8)}{(x-4)^2} - 1\right) \geq 0 \Leftrightarrow \frac{25(x-4)(x^2 - 2x - 8) - (x - 4)^2}{(x-4)^2} \geq 0 \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow \frac{25(x +2)(x - 4)^2 - (x - 4)^2}{(x-4)^2} \geq 0 \Leftrightarrow \frac{(x - 4)^2(25x + 50 - 1)}{(x-4)^2} \geq 0 \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow \frac{(x - 4)^2(25x + 49)}{(x-4)^2} \geq 0$$

Ответ: $\left[-\frac{49}{25};\, 4\right) \cup (4;\, +\infty)$.