Тип 14 № 20156

а) По определению логарифма можем перейти к следующему уравнению:

$$x^2-2x=3^1$$

$$x^2-2x=3$$

$$x^2-2x+1=4$$

$$(x-1)^2=2^2$$

$$(x-1)^2-2^2=0$$

$$(x-3)(x+1)=0$$

$$x_1=-1;\quad x_2=3$$

Так как мы нашли значения, при которых аргумент логарифма равен $3>0$, то оба решения удовлетворяют ограничению на логарифм.

б) Заметим, что

$$3=\log_2 2^3=\log_2 8>\log_2 5.$$

Тогда в силу монотонности логарифма получаем, что $x=3$ не попадает в отрезок $[\log_2 0,4;\log_2 5]$.

При этом для $x=-1$ имеем:

$$-1=\log_2 2^{-1}=\log_2 \frac{1}{2}=\log_2 \frac{5}{10}>\log_2 \frac{4}{10}=\log_2 0,4,$$

$$-1=\log_2 2^{-1}=\log_2 \frac{1}{2}<\log_2 5.$$

Поэтому получаем, что корень $x=-1$ принадлежит отрезку $[\log_2 0,4;\log_2 5]$.

Ответ:

а) $-1;\ 3$

б) $-1$