Тип 16 № 20150

Преобразуем выражение, стоящее в знаменателе:

$$\begin{aligned} 0,25^x-0,5^{x-4,5}+128 &=0,5^{2x}-0,5^x\cdot 0,5^{-4,5}+128 \\ &=2^{-2x}-2^{-x}\cdot 2^{4,5}+2^7 \\ &=\left(2^{-x}\right)^2-2\cdot 2^{-x}\cdot 2^{3,5}+\left(2^{3,5}\right)^2 \\ &=\left(2^{-x}-2^{3,5}\right)^2. \end{aligned}$$

Перепишем неравенство:

$$\frac{2,5^x-0,16}{\left(2^{-x}-2^{3,5}\right)^2}\le 0$$

$$\frac{2,5^x-2,5^{-2}}{\left(2^{-x}-2^{3,5}\right)^2}\le 0$$

Так как $\left(2^{-x}-2^{3,5}\right)^2\ge 0$, то неравенство равносильно системе:

$$\begin{cases} 2,5^x-2,5^{-2}\le 0, \\ \left(2^{-x}-2^{3,5}\right)^2\ne 0 \end{cases}$$

Решим первое неравенство системы:

$$2,5^x-2,5^{-2}\le 0$$

$$2,5^x\le 2,5^{-2}$$

$$x\le -2$$

Получим, что

$$x\in(-\infty;-2].$$

Решим второе неравенство системы:

$$\left(2^{-x}-2^{3,5}\right)^2\ne 0$$

$$2^{-x}-2^{3,5}\ne 0$$

$$2^{-x}\ne 2^{3,5}$$

$$-x\ne 3,5$$

$$x\ne -3,5$$

Тогда система примет вид:

$$\begin{cases} x\in(-\infty;-2], \\ x\ne -3,5 \end{cases}$$

Получаем ответ:

$$x\in(-\infty;-3,5)\cup(-3,5;-2].$$

Ответ:

$$(-\infty;-3,5)\cup(-3,5;-2]$$