Тип 14 № 20106

$$2\sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)-2\sqrt{3}\sin(\pi-x)=0$$

$$\sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)-\sqrt{3}\sin x=0$$

Распишем синус суммы:

$$\sin x\cos\frac{\pi}{6}+\cos x\sin\frac{\pi}{6}-\sqrt{3}\sin x=0$$

$$\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x+\frac{1}{2}\cos x-\sqrt{3}\sin x=0$$

$$\frac{1}{2}\cos x-\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x=0$$

$$\cos x-\sqrt{3}\sin x=0 \quad \mid : \cos x\ne 0$$

$$1-\sqrt{3}\tg x=0$$

$$\tg x=\frac{1}{\sqrt{3}}.$$

Таким образом,

$$x=\frac{\pi}{6}+\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

б) Отберем корни на тригонометрической окружности. Для этого отметим на ней дугу, соответствующую отрезку

$$\left[-\frac{\pi}{2};\pi\right],$$ концы этой дуги и лежащие на ней точки серий решений из пункта a).

Следовательно, на отрезке

$$\left[-\frac{\pi}{2};\pi\right]$$ лежит точка

$$\frac{\pi}{6}.$$

Ответ: a) $x=\frac{\pi}{6}+\pi k,\ k\in\mathbb Z$

б) $\frac{\pi}{6}$.