Тип 14 № 17630

Перенесём всё влевую часть: $$\sin^3x + \sin^2 x\cdot\cos x - 3\cos^3x - 3\sin x\cdot \cos^2x = 0$$ Разделим обе части уравнения на $\cos ^3 x \neq 0$:

Получаем:

$$tg^3 x + \tg^2 x - 3\tg x - 3 = 0$$ $\left(*\right) \cos x \neq 0 \Leftrightarrow x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in Z;$

Сделаем замену $t = \tg x$: $$t^3 + t^2 - 3t - 3 = 0$$ $$(t^3 + t^2) - (3t + 3) = 0$$ $$t^2(t + 1) - 3(t + 1) = 0$$ $$(t + 1)(t^2 - 3) = 0$$ $$t = -1 \text{ или } t^2 = 3$$ $$\tg x = -1 \Rightarrow x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$ $$\tg x = \pm \sqrt{3} \Rightarrow x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$

б) Отберём корни на отрезке $\left[ 2\pi; \frac{7\pi}{2} \right]$ при помощи тригонометрической окружности:

$$-\frac{\pi}{4} + 3\pi = \frac{11\pi}{4}$$ $$\frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{7\pi}{3}$$ $$\frac{\pi}{3} + 3\pi = \frac{10\pi}{3}$$ $$-\frac{\pi}{3} + 3\pi = \frac{8\pi}{3}$$

Корни, принадлежащие отрезку: $$\frac{7\pi}{3}; \frac{8\pi}{3}; \frac{11\pi}{4}; \frac{10\pi}{3}$$

Ответ: а) $-\frac{\pi}{4} + \pi k, k\in Z; \pm \frac{\pi}{3} + \pi k, k \in Z;$ б) $\frac{7\pi}{3}; \frac{8\pi}{3}; \frac{11\pi}{4};\frac{10\pi}{3}$