Тип 19 № 16593

Пусть $f(x) = |2x - 2| + |x -3|$, a $g(x) = ax - 3a = a(x - 3)$.

Рассмотрим случаи раскрытия модулей: $$x < 1, f(x) = -2x + 2 - x + 3 = -3x +5$$ $$x \in [1; 3], f(x) = 2x - 2 - x + 3 = x + 1$$ $$x > 3, f(x) = 2x - 2 + x - 3 = 3x - 5$$

Графиком функции $f(x)$ будут являться 3 прямые, концы которых совпадают.

Графиком функции $g(x)$ будет являться прямая, которая вращается вокруг точки $(3; 0)$.

Построим графики этих функций и отметим граничные случаи:

Чтобы исходное уравнение имело ровно 1 решение, графики функций $f(x)$ и $g(x)$ должны иметь ровно одну точку пересечения.

Запишем промежуточный ответ: $$\left(-\infty; \boxed{3}\right] \cup \left\{\boxed{2}\right\} \cup \left(\boxed{1}; +\infty\right)$$

В положении $1$ прямая $y = a(x - 3)$ параллельна прямой $y = 3x - 5$, следовательно прямые имеют одинаковый коэффициент наклона $\Rightarrow a = 3 $

В положении $2$ прямая $y = a(x - 3)$ параллельна прямой $y = -3x + 5$, следовательно прямые имеют одинаковый коэффициент наклона $\Rightarrow a = -3 $

В положении $3$ прямая $y = a(x - 3)$ пересекает точку $(1; 2)$, в которой имеет одну общую точку пересечения с графиком функции $y = f(x)$: $$g(1) = a(1 - 3) = 2 \Leftrightarrow a = -1$$

Получаем ответ: $\left(-\infty; -3\right] \cup \left\{-1\right\} \cup \left(3; +\infty\right)$

Ответ: $\left(-\infty; -3\right] \cup \left\{-1\right\} \cup \left(3; +\infty\right)$