Тип 19 № 16077

Найдите все значения $a$ , при каждом из которых система уравнений

$\begin{cases} \frac{(y^2-xy+3x-y-6)\sqrt{x+2}}{\sqrt{6-x}}=0\\ x+y-a=0 \end{cases}$ имеет ровно два различных решения

Решение:

Разберём первое уравнение системы: $\begin{cases} x+2\ge0\\ 6-x>0\\ \left[ \begin{aligned} &x=-2\\ &y^2-xy+3x-y-6=0\quad (1)\\ \end{aligned}\right. \end{cases}$ $(1) \quad y^2-xy+3x-y-6=0$ $y^2-(x+1)y+(3x-6)=0$ Решим как квадратное уравнение, где: $D=x^2+2x+1-4(3x-6)=x^2+2x+1-12x+24=x^2-10x+25=(x-5)^2$ Тогда: $\left[ \begin{aligned} &y=\frac{x+1+x-5}{2}=x-2 \\ &y=\frac{x+1-x+5}{2}=3 \end{aligned} \right.$ Поэтому исходная система равносильна системе: $\begin{cases} -2\leq x<6\\ y = -x + a\\ \left[ \begin{aligned} &x=-2\\ &y=3\\ &y=x-2 \end{aligned}\right. \end{cases}$

Полученная система имеет ровно два решения, когда семейство прямых $y=a-x$ имеет с графиком системы ровно две общие точки. Найдём пограничные точки и определим количество решений для всех $a$ :

{\small \renewcommand{\arraystretch}{1.5}}

Значение $a$	Количество решений
$a<-6$	$0$
$a=-6$	$1$
$-6<a\leq1$	$2$
$1<a<8$	$3$
$a=8$	$2$
$8<a<9$	$3$
$9\leq a<10$	$2$
$a\ge 10$	$1$

Таким образом собираем ответ:

$a\in (-6; 1] \cup \{8\} \cup [9; 10)$