Тип 19 № 15887

Сделаем замену $$t=2^x,\quad t>0.$$ Тогда исходное уравнение принимает вид $$t-a=\sqrt{t^2-3a}.$$

Это уравнение равносильно системе $$\begin{cases} (t-a)^2=t^2-3a,\\ t-a\ge 0. \end{cases}$$

Из первого уравнения получаем: $$t^2-2at+a^2=t^2-3a,$$ $$-2at+a^2=-3a,$$ $$2at=a^2+3a,$$ $$t=\dfrac{a(a+3)}{2a}$$ При $a = 0$ исходное уравнение будет иметь бесконечное количество корней, что нам не подходит. Следовательно: $$t=\dfrac{a+3}{2}, \quad a \neq 0$$ Теперь учтём второе условие системы: $$\dfrac{a+3}{2}-a\ge 0 \quad\Rightarrow\quad \dfrac{3-a}{2}\ge 0 \quad\Rightarrow\quad a\le 3.$$

Также необходимо, чтобы найденное значение $t$ было положительным: $$\dfrac{a+3}{2}>0 \quad\Rightarrow\quad a>-3.$$

Для того чтобы уравнение имело ровно одно решение по $x$, достаточно, чтобы было получено ровно одно допустимое значение $t$.

$$a\in (-3; 0) \cup (0;3]$$

Ответ: $$a\in (-3; 0) \cup (0;3]$$