Тип 19 № 15860

Сделаем замену $t = |x + 1|$ и проанализируем её:

При $t > 0$ – 2 решения $x$.

При $t = 0$ – 1 решение $x$.

При $t < 0 $ – 0 решений $x$.

Получаем уравнение относительно $t$: $$2at^2 - t + 1 = 0$$

Чтобы исходное уравнение имело ровно 4 различных решения, необходимо чтобы уравнение относительно $t$ имело ровно два положительных корня. Это обеспечивается следующими условиями:

$$\begin{cases} D > 0\\ f(0) > 0\\ t_{\text{в}} > 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 1 - 8a > 0 \\ 0 - 0 + 1 > 0\\ \tfrac{1}{2a} > 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a < \tfrac{1}{8}\\ a \in R\\ a > 0 \end{cases} \Rightarrow a \in \left(0; \frac{1}{8}\right)$$

Ответ: $\left(0; \frac{1}{8}\right)$