Тип 14 № 15821

а) Решим уравнение: $750^{\cos 3x} + 6 \cdot 125^{\frac{1}{3} + \cos 3x} = 5^{5\cos 3x} + 30^{1+\cos 3x}.$

Сделаем замену $t = \cos 3x$:

$$750^{t} + 6 \cdot 125^{\frac{1}{3} + t} = 5^{5t} + 30^{1+t}.$$

Упростим второе слагаемое слева: $$125^{\frac{1}{3} + t} = 125^{\frac{1}{3}} \cdot 125^{t} = 5 \cdot 125^{t},$$ так как $125^{\frac{1}{3}} = 5$.

Тогда: $$6 \cdot 125^{\frac{1}{3} + t} = 6 \cdot 5 \cdot 125^{t} = 30 \cdot 125^{t}.$$

Подставим в уравнение: $$750^{t} + 30 \cdot 125^{t} = 5^{5t} + 30 \cdot 30^{t}.$$

Заметим, что $750 = 5^3 \cdot 6$, а $125 = 5^3$. Тогда:

$$(5^3 \cdot 6)^{t} + 30 \cdot (5^3)^{t} = 5^{5t} + 30 \cdot 30^{t}.$$

Раскроем степени: $$5^{3t} \cdot 6^{t} + 30 \cdot 5^{3t} = 5^{5t} + 30 \cdot 30^{t}.$$

Вынесем $5^{3t}$ в левой части: $$5^{3t}(6^{t} + 30) = 5^{5t} + 30 \cdot 30^{t}.$$

Выразим $5^{5t} = 5^{3t} \cdot 5^{2t}$, а $30^{t} = (5 \cdot 6)^{t} = 5^{t} \cdot 6^{t}$.

Подставим: $$5^{3t}(6^{t} + 30) = 5^{3t} \cdot 5^{2t} + 30 \cdot 5^{t} \cdot 6^{t}.$$

Разделим обе части на $5^{3t} > 0$:

$$6^{t} + 30 = 5^{2t} + \frac{30 \cdot 5^{t} \cdot 6^{t}}{5^{3t}}.$$

Упростим дробь: $$\frac{30 \cdot 5^{t} \cdot 6^{t}}{5^{3t}} = 30 \cdot 5^{t-3t} \cdot 6^{t} = 30 \cdot 5^{-2t} \cdot 6^{t}.$$

Тогда: $$6^{t} + 30 = 5^{2t} + 30 \cdot \frac{6^{t}}{5^{2t}}.$$

Заметим, что $5^{2t} = (5^2)^t = 25^{t}$. Перенесём все слагаемые влево:

$$6^{t} + 30 - 25^{t} - 30 \cdot \frac{6^{t}}{25^{t}} = 0.$$

Сгруппируем: $$(6^{t} - 25^{t}) + 30\left(1 - \frac{6^{t}}{25^{t}}\right) = 0.$$

Выразим через отношение $\left(\frac{6}{25}\right)^t$: $$25^{t}\left(\left(\frac{6}{25}\right)^t - 1\right) + 30\left(1 - \left(\frac{6}{25}\right)^t\right) = 0.$$

Заметим, что $1 - \left(\frac{6}{25}\right)^t = -\left(\left(\frac{6}{25}\right)^t - 1\right)$.

Тогда: $$25^{t}\left(\left(\frac{6}{25}\right)^t - 1\right) - 30\left(\left(\frac{6}{25}\right)^t - 1\right) = 0.$$

Вынесем общий множитель: $$\left(\left(\frac{6}{25}\right)^t - 1\right)(25^{t} - 30) = 0.$$

Получаем два уравнения:

1. $\left(\frac{6}{25}\right)^t = 1$    $\Rightarrow$    $t = 0$.

2. $25^{t} = 30$    $\Rightarrow$    $t = \log_{25} 30$.

Возвращаемся к замене $t = \cos 3x$:

• $\cos 3x = 0$    $\Rightarrow$    $3x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$,    $x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3}k$, $k \in \mathbb{Z}$.
• $\cos 3x = \log_{25} 30 \approx 1.02 > 1$ — решений нет, так как $|\cos 3x| \leq 1$.

Итак, корни уравнения:

$${x = \dfrac{\pi}{6} + \dfrac{\pi}{3}k, \quad k \in \mathbb{Z}}.$$

б) Отберем все корни уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ -\frac{7\pi}{4}; -\frac{3\pi}{4} \right]$.

Корень имеет вид $x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3}k, \ k \in \mathbb{Z}$.

Решим неравенство:

$$-\frac{7\pi}{4} \le \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3}k \le -\frac{3\pi}{4}.$$

Умножим все части неравенства на $\frac{12}{\pi}$:

$$-\frac{7\pi}{4} \cdot \frac{12}{\pi} \le \left( \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3}k \right) \cdot \frac{12}{\pi} \le -\frac{3\pi}{4} \cdot \frac{12}{\pi}$$ $$-21 \le 2 + 4k \le -9$$

Вычтем 2:

$$-23 \le 4k \le -11$$

Разделим на 4:

$$-\frac{23}{4} \le k \le -\frac{11}{4}$$ $$-5.75 \le k \le -2.75$$

Целыми значениями $k$ в этом промежутке являются: $k = -5, -4, -3$.

Вычислим соответствующие корни:

• $k = -5$: $x = \frac{\pi}{6} - \frac{5\pi}{3} = \frac{\pi}{6} - \frac{10\pi}{6} = -\frac{9\pi}{6} = -\frac{3\pi}{2}$
• $k = -4$: $x = \frac{\pi}{6} - \frac{4\pi}{3} = \frac{\pi}{6} - \frac{8\pi}{6} = -\frac{7\pi}{6}$
• $k = -3$: $x = \frac{\pi}{6} - \frac{3\pi}{3} = \frac{\pi}{6} - \pi = -\frac{5\pi}{6}$

Итак, корни, принадлежащие отрезку:

$${-\dfrac{3\pi}{2};\; -\dfrac{7\pi}{6};\; -\dfrac{5\pi}{6}}.$$

Ответ: а) $\dfrac{\pi}{6} + \dfrac{\pi}{3}k, \quad k \in \mathbb{Z}$

б) $-\dfrac{3\pi}{2};\; -\dfrac{7\pi}{6};\; -\dfrac{5\pi}{6}.$