Тип 14 № 15820

а) Решим уравнение: $$2^{5\sin 5x} + 6^{1+\sin 5x} = 24^{\sin 5x} + 3 \cdot 8^{\frac{1}{3}+\sin 5x}.$$

Сделаем замену $t = \sin 5x$:

$$2^{5t} + 6^{1+t} = 24^t + 3 \cdot 8^{\frac13 + t}.$$

Упростим правую часть: $$3 \cdot 8^{\frac13 + t} = 3 \cdot 8^{\frac13} \cdot 8^t = 3 \cdot 2 \cdot 8^t = 6 \cdot 8^t.$$

Подставим в уравнение: $$2^{5t} + 6 \cdot 6^t = 24^t + 6 \cdot 8^t.$$

Заметим, что $2^{5t} = (2^5)^t = 32^t$ и $24^t = (3 \cdot 8)^t = 3^t \cdot 8^t$. Тогда:

$$32^t + 6 \cdot 6^t = 3^t \cdot 8^t + 6 \cdot 8^t.$$

Вынесем в правой части $8^t$:

$$32^t + 6 \cdot 6^t = 8^t(3^t + 6).$$

Перенесём всё в одну часть:

$$32^t + 6 \cdot 6^t - 8^t \cdot 3^t - 6 \cdot 8^t = 0.$$

Сгруппируем:

$$(32^t - 8^t \cdot 3^t) + 6(6^t - 8^t) = 0.$$

Преобразуем: $32^t = 8^t \cdot 4^t$, поэтому

$$8^t(4^t - 3^t) + 6(6^t - 8^t) = 0.$$

Заметим, что $6^t = 2^t \cdot 3^t$, $8^t = 2^{3t}$, тогда:

$$6^t - 8^t = 2^t \cdot 3^t - 2^{3t} = 2^t(3^t - 2^{2t}) = 2^t(3^t - 4^t).$$

Подставим:

$$8^t(4^t - 3^t) + 6 \cdot 2^t(3^t - 4^t) = 0,$$ $$(4^t - 3^t)(8^t - 6 \cdot 2^t) = 0.$$

Разложим второй множитель: $8^t - 6 \cdot 2^t = 2^t(4^t - 6)$. Получаем:

$$(4^t - 3^t) \cdot 2^t (4^t - 6) = 0.$$

Так как $2^t > 0$ при всех $t$, имеем:

1. $4^t - 3^t = 0$, откуда $\left(\frac{4}{3}\right)^t = 1$, значит $t = 0$.

2. $4^t - 6 = 0$, откуда $t = \log_4 6$.

Возвращаемся к замене $t = \sin 5x$:

• $\sin 5x = 0$    $\Rightarrow$    $5x = \pi n$, $n \in \mathbb{Z}$,    $x = \frac{\pi n}{5}$.
• $\sin 5x = \log_4 6 \approx 1.292 > 1$ — решений нет, так как $|\sin 5x| \leq 1$.

Итак, корень уравнения: $${\dfrac{\pi}{5} k, \quad k \in \mathbb{Z}}.$$

б) Отберем все корни уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ \frac{5\pi}{2}; \frac{7\pi}{2} \right]$.

Отберем те значения $k$, для которых $$\frac{5\pi}{2} \le \frac{\pi k}{5} \le \frac{7\pi}{2}.$$

Умножим все части неравенства на $\frac{5}{\pi}$:

$$\frac{5}{\pi} \cdot \frac{5\pi}{2} \le k \le \frac{5}{\pi} \cdot \frac{7\pi}{2}$$ $$\frac{25}{2} \le k \le \frac{35}{2}$$ $$12.5 \le k \le 17.5$$

Целыми значениями $k$ в этом промежутке являются: $k = 13, 14, 15, 16, 17$.

Вычислим соответствующие корни:

• $k = 13$: $x = \frac{13\pi}{5}$
• $k = 14$: $x = \frac{14\pi}{5}$
• $k = 15$: $x = \frac{15\pi}{5} = 3\pi$
• $k = 16$: $x = \frac{16\pi}{5}$
• $k = 17$: $x = \frac{17\pi}{5}$

Итак, корни, принадлежащие отрезку: $${\frac{13\pi}{5};\; \frac{14\pi}{5};\; 3\pi;\; \frac{16\pi}{5};\; \frac{17\pi}{5}}.$$

Ответ: а) $\tfrac{\pi}{5} k, \quad k \in \mathbb{Z}$

б) ${\frac{13\pi}{5};\; \frac{14\pi}{5};\; 3\pi;\; \frac{16\pi}{5};\; \frac{17\pi}{5}}.$