Тип 14 № 15819

a) Запишем исходное уравнение в виде:

$$5^{x+\sqrt{x}-1} + 6 \cdot 5^{x-\sqrt{x}+1} - 5^{x+1} = 0.$$

Разделим обе части на $5^x > 0$:

$$5^{\sqrt{x}-1} + 6 \cdot 5^{-\sqrt{x}+1} - 5 = 0.$$

Заметим, что $5^{1} = 5$. Перепишем уравнение:

$$\frac{5^{\sqrt{x}}}{5} + 6 \cdot \frac{5}{5^{\sqrt{x}}} - 5 = 0.$$

Умножим на $5 \cdot 5^{\sqrt{x}}$ (при $5^{\sqrt{x}} > 0$):

$$\left(5^{\sqrt{x}}\right)^2 - 25 \cdot 5^{\sqrt{x}} + 150 = 0.$$

Сделаем замену $t = 5^{\sqrt{x}} > 0$:

$$t^2 - 25t + 150 = 0.$$

$$D = 625 - 600 = 25, \quad \sqrt{D} = 5.$$

$$t_{1,2} = \frac{25 \pm 5}{2} = \begin{cases} t_1 = 15, \\[2pt] t_2 = 10. \end{cases}$$

1. $5^{\sqrt{x}} = 15$. Тогда $\sqrt{x} = \log_5 15$, откуда $x_1 = \log_5^2 15$.
2. $5^{\sqrt{x}} = 10$. Тогда $\sqrt{x} = \log_5 10$, откуда $x_2 = \log_5^2 10$.

Итак, корни уравнения $$\log_5^2 15; \; \log_5^2 10.$$

б) Отберем корни, принадлежащие отрезку $[1; 2,56]$.

$$x_1 = \log_5^2 15, \quad x_2 = \log_5^2 10.$$

1. Проверим $x_1 = \log_5^2 15$:

$$1 \leq \log_5^2 15 \leq 2,56 \quad \Rightarrow \quad 1 \leq \log_5 15 \leq 1,6.$$

Так как $\log_5 5 = 1$ и $\log_5 5^{1,6} = 1,6$, то:

$$\log_5 5 \leq \log_5 15 \leq \log_5 5^{1,6} \quad \Leftrightarrow \quad 5 \leq 15 \leq 5^{1,6}.$$

$$5^{1,6} = 5^{\frac{8}{5}} = \sqrt[5]{5^8} = \sqrt[5]{390625} \approx 13,1.$$

Получаем $15 \leq 13,1$, что неверно. Следовательно, $x_1 \notin [1; 2,56]$.

1. Проверим $x_2 = \log_5^2 10$:

$$1 \leq \log_5^2 10 \leq 2,56 \quad \Rightarrow \quad 1 \leq \log_5 10 \leq 1,6.$$

$$\log_5 5 \leq \log_5 10 \leq \log_5 5^{1,6} \quad \Leftrightarrow \quad 5 \leq 10 \leq 5^{1,6}.$$

$$5^{1,6} \approx 13,1 > 10 \quad \text{— верно}.$$

Значит, $x_2 \in [1; 2,56]$.

Ответ: а) $\log_5^2 10; \; \log_5^2 15.$

б) $\log_5^2 10.$