Тип 14 № 15818

a) Запишем исходное уравнение в виде:

$$4^{x+\sqrt{x}-1,5} + 3 \cdot 4^{x-\sqrt{x}+1,5} - 4^{x+1} = 0.$$

Разделим обе части на $4^x > 0$:

$$4^{\sqrt{x}-1,5} + 3 \cdot 4^{-\sqrt{x}+1,5} - 4 = 0.$$

Заметим, что $4^{1,5} = 4^{\frac{3}{2}} = 8$. Перепишем уравнение:

$$\frac{4^{\sqrt{x}}}{8} + 3 \cdot \frac{8}{4^{\sqrt{x}}} - 4 = 0.$$

Умножим на $8 \cdot 4^{\sqrt{x}}$ (при $4^{\sqrt{x}} > 0$):

$$\left(4^{\sqrt{x}}\right)^2 - 32 \cdot 4^{\sqrt{x}} + 192 = 0.$$

Сделаем замену $t = 4^{\sqrt{x}} > 0$:

$$t^2 - 32t + 192 = 0.$$

$$D = 1024 - 768 = 256, \quad \sqrt{D} = 16.$$

$$t_{1,2} = \frac{32 \pm 16}{2} = \begin{cases} t_1 = 24, \\[2pt] t_2 = 8. \end{cases}$$

1. $4^{\sqrt{x}} = 24$. Тогда $\sqrt{x} = \log_4 24$, откуда $x_1 = \log_4^2 24$.
2. $4^{\sqrt{x}} = 8$. Тогда $\sqrt{x} = \log_4 8 = \frac{3}{2}$, откуда $x_2 = \left( \frac{3}{2} \right)^2 = \frac{9}{4} = 2,25$.

Итак, корни уравнения $$2,25;\; \log_4^2 24.$$

б) Отберем корни, принадлежащие отрезку $[2; 6]$.

$$x_1 = 2,25.$$ Проверим: $2 \leq 2,25 \leq 6$ — верно.

$$x_2 = \log_4^2 24.$$ Пусть $t = \log_4 24$. Тогда $x_2 = t^2$.

Оценим $t$: $$4^2 = 16 < 24 < 64 = 4^3 \quad \Rightarrow \quad 2 < t < 3.$$

Возведём в квадрат: $4 < x_2 < 9$.

Проверим левую границу: $4 > 2 \Rightarrow x_2 > 2$.

Проверим правую границу: нужно $t^2 \leq 6 \Rightarrow t \leq \sqrt{6} \approx 2,449$.

Так как $4^{2,449} \approx 28 > 24$, то $t < \sqrt{6}$, следовательно $x_2 = t^2 < 6$.

Таким образом, $2 < x_2 < 6$ — условие выполнено.

Ответ: а) $2,25;\; \log_4^2 24.$

б) $2,25;\; \log_4^2 24.$