Тип 14 № 15816

а) Преобразуем исходное уравнение в виде:

$$2 \sin^2 x - 3 \cos (-x) - 3 = 0; \quad 2(1 - \cos^2 x) - 3 \cos x - 3 = 0; \quad -2 \cos^2 x - 3 \cos x - 1 = 0;$$ $$2 \cos^2 x + 3 \cos x + 1 = 0; \quad (\cos x + 1)(2 \cos x + 1) = 0;$$

Отсюда $$\cos x = -1, \quad \text{откуда} \quad x = \pi + 2\pi k, \; k \in \mathbb{Z},$$ или $$\cos x = -\frac{1}{2}, \quad \text{откуда} \quad x = \pm\frac{2\pi}{3} + 2\pi k, \; k \in \mathbb{Z}.$$

Итак, корни уравнения:

$$\pi + 2\pi k,\; k \in \mathbb{Z};\; \pm\frac{2\pi}{3} + 2\pi k,\; k \in \mathbb{Z}$$

б) Отберем корни на отрезке $\left[ 2\pi; \frac{7\pi}{2} \right]$ с помощью тригонометрической окружности:

Отбираем корни:

$$3\pi - \frac{\pi}{3} = \frac{8\pi}{3}$$ $$3\pi + \frac{\pi}{3} = \frac{10\pi}{3}$$

Итак, корни на отрезке: $$x_1 = 3\pi; \quad x_2 = \frac{8\pi}{3}; \quad x_3 = \frac{10\pi}{3}.$$

Ответ:

а) $\pi + 2\pi k,\; k \in \mathbb{Z};\; \pm\frac{2\pi}{3} + 2\pi k,\; k \in \mathbb{Z}$

б) $\dfrac{8\pi}{3};\; 3\pi;\; \dfrac{10\pi}{3}$