Тип 14 № 15809

а) Уравнение распадается на два множителя:

1. $2x^2 - 15x + 18 = 0$

   Решим квадратное уравнение: $$D = 225 - 144 = 81, \quad \sqrt{D} = 9.$$ $$x_1 = \frac{15 + 9}{4} = \frac{24}{4} = 6,$$ $$x_2 = \frac{15 - 9}{4} = \frac{6}{4} = 1,5.$$

2. $\sin x \cdot \sin\left(x - \frac{\pi}{2}\right) + 0,25 = 0$

   Преобразуем второй множитель: $$\sin\left(x - \frac{\pi}{2}\right) = -\cos x.$$ Получаем: $$\sin x \cdot (-\cos x) + 0,25 = 0$$ $$-\sin x \cos x = -0,25$$ $$\sin x \cos x = 0,25.$$

   Умножим обе части на 2: $$2\sin x \cos x = 0,5$$ $$\sin 2x = 0,5.$$

   $$2x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k \quad \text{или} \quad 2x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$ $$x = \frac{\pi}{12} + \pi k \quad \text{или} \quad x = \frac{5\pi}{12} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}.$$

Итак, корни уравнения: $${1,5; \ 6; \ \frac{\pi}{12} + \pi k, \ k \in \mathbb{Z}; \ \frac{5\pi}{12} + \pi k, \ k \in \mathbb{Z}}.$$

б) Отберём корни на отрезке $\left[ \frac{\pi}{2}; 2\pi \right]$.

1. Алгебраические корни: $1,5$ и $6$.

   Проверим принадлежность отрезку $[\frac{\pi}{2}; 2\pi]$:

   $$\begin{aligned} &\frac{\pi}{2} \approx 1,57, \quad 2\pi \approx 6,28. \\ &1,5 < 1,57 \quad \Rightarrow \quad 1,5 \notin [1,57; 6,28] \quad \text{— не принадлежит}. \\ &6 \in [1,57; 6,28] \quad \text{— принадлежит}. \end{aligned}$$

   Из алгебраических корней отрезку подходит только $x = 6$.

2. Тригонометрические корни: $x = \frac{\pi}{12} + \pi k$ и $x = \frac{5\pi}{12} + \pi k$.

   Найдём значения на отрезке $[\frac{\pi}{2}; 2\pi]$:

$$\pi + \frac{\pi}{12} = \frac{13\pi}{12}$$

$$\pi + \frac{5\pi}{12} = \frac{17\pi}{12}$$

Изобразим на тригонометрической окружности:

Корни, принадлежащие отрезку: $$6; \frac{13\pi}{12}; \frac{17\pi}{12}.$$

**Ответ: а)**${1,5; \ 6; \ \frac{\pi}{12} + \pi k, \ k \in \mathbb{Z}; \ \frac{5\pi}{12} + \pi k, \ k \in \mathbb{Z}}.$

б) ${6; \ \frac{13\pi}{12}; \ \frac{17\pi}{12}}.$