Тип 14 № 15800

а) Введем (*): $\cos\left(2x - \frac{\pi}{2}\right) \neq 0 \Rightarrow \sin 2x \neq 0 \Rightarrow \sin x \cos x \neq 0$.

Упростим знаменатель, используя свойство косинуса: $$\cos\left(2x - \frac{\pi}{2}\right) = \sin 2x.$$ Тогда уравнение примет вид: $$\frac{4\cos^3 x - 6\cos x}{\sin 2x} = 3.$$ Умножим обе части на $\sin 2x$: $$4\cos^3 x - 6\cos x = 3\sin 2x.$$ Так как $\sin 2x = 2\sin x \cos x$, получаем: $$4\cos^3 x - 6\cos x - 6\sin x \cos x = 0.$$ Вынесем $2\cos x$: $$2\cos x \left(2\cos^2 x - 3 - 3\sin x\right) = 0.$$ Используем тождество $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$: $$2\cos x \left(2(1 - \sin^2 x) - 3 - 3\sin x\right) = 0,$$ $$2\cos x \left(2 - 2\sin^2 x - 3 - 3\sin x\right) = 0,$$ $$2\cos x \left(-1 - 2\sin^2 x - 3\sin x\right) = 0.$$ Умножим на $-1$ и перепишем: $$2\cos x \left(2\sin^2 x + 3\sin x + 1\right) = 0.$$ Разложим квадратный трёхчлен: $$2\cos x (\sin x + 1)(2\sin x + 1) = 0.$$ Получаем три случая: $$\cos x = 0, \quad \sin x = -1, \quad \sin x = -\frac{1}{2}.$$

Учтём (*): $\sin 2x \neq 0 \Rightarrow \sin x \cos x \neq 0$. Следовательно, $\cos x = 0$ и $\sin x = -1$ не подходят. Остаётся: $$\sin x = -\frac{1}{2} \quad \Rightarrow \quad x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k \quad \text{или} \quad x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi k, \; k \in \mathbb{Z}.$$

б) Отберём корни на отрезке $\left[ \frac{3\pi}{2}; 4\pi \right]$ с помощью неравенств:

$$\frac{3\pi}{2} \leq -\frac{\pi}{6} + 2\pi k \leq 4\pi; \quad \frac{3\pi}{2} + \frac{\pi}{6} \leq 2\pi k \leq 4\pi + \frac{\pi}{6}; \quad \frac{5\pi}{3} \leq 2\pi k \leq \frac{25\pi}{6}; \quad \frac{5}{6} \leq k \leq \frac{25}{12}; \quad \text{откуда}$$ $$k = 1, \quad x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{11\pi}{6};$$ $$k = 2, \quad x = -\frac{\pi}{6} + 4\pi = \frac{23\pi}{6}.$$

$$\frac{3\pi}{2} \leq -\frac{5\pi}{6} + 2\pi k \leq 4\pi; \quad \frac{3\pi}{2} + \frac{5\pi}{6} \leq 2\pi k \leq 4\pi + \frac{5\pi}{6}; \quad \frac{7\pi}{3} \leq 2\pi k \leq \frac{29\pi}{6}; \quad \frac{7}{6} \leq k \leq \frac{29}{12}; \quad \text{откуда}$$ $$k = 2, \quad x = -\frac{5\pi}{6} + 4\pi = \frac{19\pi}{6}.$$

Корни, принадлежащие отрезку: $$\frac{11\pi}{6}, \; \frac{19\pi}{6}, \; \frac{23\pi}{6}.$$

Ответ: а) $-\frac{\pi}{6} + 2\pi k, \; k \in \mathbb{Z}; \; -\frac{5\pi}{6} + 2\pi k, \; k \in \mathbb{Z};$

б) $\frac{11\pi}{6}, \; \frac{19\pi}{6}, \; \frac{23\pi}{6}.$