а) Введем (*): sin(2x−π)=0⇒sin2x=0⇒sinxcosx=0
Упростим уравнение:
sin(2x−π)4sin3x−2sinx=1.
Используем свойство синуса: sin(2x−π)=−sin2x:
−sin2x4sin3x−2sinx=1.
Умножим обе части на −sin2x:
4sin3x−2sinx=−sin2x.
Так как sin2x=2sinxcosx, получаем:
4sin3x−2sinx+2sinxcosx=0.
Вынесем sinx:
sinx(4sin2x−2+2cosx)=0.
Используем тождество sin2x=1−cos2x:
sinx(4(1−cos2x)−2+2cosx)=0,
sinx(4−4cos2x−2+2cosx)=0,
sinx(2−4cos2x+2cosx)=0.
Разделим на 2:
sinx(2cos2x−cosx−1)=0.
Разложим квадратный трёхчлен:
sinx(cosx−1)(2cosx+1)=0.
Получаем три случая:
sinx=0,cosx=1,cosx=−21.
Учтём (*): sin(2x−π)=0⇒sin2x=0⇒sinxcosx=0.
Следовательно, sinx=0 и cosx=1 не подходят.
Остаётся:
cosx=−21⇒x=±32π+2πk,k∈Z.
б) Отберём корни на отрезке [−3π;−2π] с неравенства:
−3π≤32π+2πk≤−2π;−311π≤2πk≤−67π;−611≤k≤−127;откуда
k=−1,x=32π−2π=−34π;
−3π≤−32π+2πk≤−2π;−37π≤2πk≤6π;−67≤k≤121;откуда
k=−1,x=−32π−2π=−38π;k=0,x=−32π.
Корни, принадлежащие отрезку:
−38π,−34π,−32π.
Ответ: а) 32π+2πk,k∈Z;−32π+2πk,k∈Z;
б) −38π,−34π,−32π.