a) Упростим уравнение, используя формулу приведения:
cos(2x−2π)=sin2x
Так как sin65π=21, уравнение принимает вид:
cos2x⋅sin4x−21cos4x=sin2x
Используем формулу sin4x=2sin2xcos2x:
2sin2xcos22x−21cos4x=sin2x
Используем формулу cos4x=2cos22x−1:
2sin2xcos22x−21(2cos22x−1)=sin2x
2sin2xcos22x−cos22x+21=sin2x
Переносим все в одну сторону:
2sin2xcos22x−cos22x−sin2x+21=0
Группируем:
(2sin2xcos22x−sin2x)−(cos22x−21)=0
sin2x(2cos22x−1)−(cos22x−21)=0
Замечаем, что cos22x−21=21(2cos22x−1):
(2cos22x−1)(sin2x−21)=0
Решаем первое уравнение:
2cos22x=1⇒cos22x=21⇒cos2x=±22
2x=±4π+πk
x=±8π+2πk,k∈Z
или
x=8π+4πk,k∈Z
Решаем второе уравнение:
sin2x=21⇒2x=6π+2πkили2x=65π+2πk
x=12π+πkилиx=125π+πk,k∈Z
Таким образом получаем:
x=8π+4πk,k∈Z
x=12π+πk,k∈Z
x=125π+πk,k∈Z
б) Отберем корни, принадлежащие отрезку [−3π;−2π] с помощью неравенства:
- Для x=8π+4πk:
−3π≤8π+4πk≤−2π
−3π−8π≤4πk≤−2π−8π
−825π≤4πk≤−817π
−225≤k≤−217⇒k=−12,−11,−10,−9
Вычисляем:
k=−12: x=8π−3π=−823π
k=−11: x=8π−411π=8π−822π=−821π
k=−10: x=8π−410π=8π−820π=−819π
k=−9: x=8π−49π=8π−818π=−817π
- Для x=12π+πk:
−3π≤12π+πk≤−2π
−3π−12π≤πk≤−2π−12π
−1237π≤πk≤−1225π
−1237≤k≤−1225⇒k=−3,−2
Вычисляем:
k=−3: x=12π−3π=−1235π
k=−2: x=12π−2π=−1223π
- Для x=125π+πk:
−3π≤125π+πk≤−2π
−3π−125π≤πk≤−2π−125π
−1241π≤πk≤−1229π
−1241≤k≤−1229⇒k=−3,−2
Вычисляем:
k=−3: x=125π−3π=−1231π
k=−2: x=125π−2π=−1219π
Корни, принадлежащие отрезку:
−1235π,−823π,−821π,−1231π,−819π,−817π
Ответ: а) 8π+4πk, k∈Z; 12π+πk, k∈Z; 125π+πk, k∈Z;
б) −1235π,−823π,−821π,−1231π,−819π,−817π.