Тип 14 № 15782

a) Упростим уравнение, используя формулу приведения: $$\sin\left(\frac{3\pi}{2} + 2x\right) = -\cos 2x = -(\cos^2 x - \sin^2 x) = \sin^2 x - \cos^2 x$$

Подставляем в уравнение: $$\frac{\cos^4 x + (\sin^2 x - \cos^2 x) - \sin^2 x}{2\cos^2\left(-\frac{\pi}{8} - \frac{x}{4}\right) - 5\sin\left(\frac{x}{4} + \frac{\pi}{8}\right) - 2} = 0$$

Упрощаем числитель: $$\cos^4 x + \sin^2 x - \cos^2 x - \sin^2 x = \cos^4 x - \cos^2 x = \cos^2 x (\cos^2 x - 1)$$

Упрощаем знаменатель, используя $\cos^2\left(-\frac{\pi}{8} - \frac{x}{4}\right) = \cos^2\left(\frac{x}{4} + \frac{\pi}{8}\right)$: $$2\cos^2\left(\frac{x}{4} + \frac{\pi}{8}\right) - 5\sin\left(\frac{x}{4} + \frac{\pi}{8}\right) - 2$$

Используем формулу $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$: $$2(1 - \sin^2\left(\frac{x}{4} + \frac{\pi}{8}\right)) - 5\sin\left(\frac{x}{4} + \frac{\pi}{8}\right) - 2 = -2\sin^2\left(\frac{x}{4} + \frac{\pi}{8}\right) - 5\sin\left(\frac{x}{4} + \frac{\pi}{8}\right)$$

Тогда знаменатель: $$-\sin\left(\frac{x}{4} + \frac{\pi}{8}\right)(2\sin\left(\frac{x}{4} + \frac{\pi}{8}\right) + 5)$$

Получаем: $$\frac{\cos^2 x (\cos^2 x - 1)}{-\sin\left(\frac{x}{4} + \frac{\pi}{8}\right)(2\sin\left(\frac{x}{4} + \frac{\pi}{8}\right) + 5)} = 0$$

Уравнение равносильно системе: $$\begin{cases} \cos^2 x (\cos^2 x - 1) = 0 \\ \sin\left(\tfrac{x}{4} + \tfrac{\pi}{8}\right) \neq 0 \\ 2\sin\left(\tfrac{x}{4} + \tfrac{\pi}{8}\right) + 5 \neq 0 \end{cases}$$

Решаем первое уравнение: $$\cos^2 x = 0 \quad \text{или} \quad \cos^2 x = 1$$ $$x = \frac{\pi}{2} + \pi k \quad \text{или} \quad x = \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$

Учитывая, что $\sin\left(\frac{x}{4} + \frac{\pi}{8}\right) \neq 0 \Rightarrow \frac{x}{4} + \frac{\pi}{8} \neq \pi k \Rightarrow x \neq -\frac{\pi}{2} + 4\pi k$ ; $k \in \mathbb{Z}$

Поэтому, для $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$ исключаем $x = -\frac{\pi}{2} + 4\pi k$.

Таким образом получаем: $$x = \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \quad$$ $$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \quad$$ $$x = \frac{3\pi}{2} + 4\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \quad$$

б) Отберем корни, принадлежащие отрезку $[\pi; 4\pi]$ с помощью тригонометрической окружности и с помощью неравенства:

$$\pi \leq \pi k \leq 4\pi; \quad 1 \leq k \leq 4, \text{ откуда}$$ $$k = 1, \quad x = \pi; \quad k = 2, \quad x = 2\pi; \quad k = 3, \quad x = 3\pi; \quad k = 4, \quad x = 4\pi \quad \text{или}$$ $$\pi \leq \frac{\pi}{2} + 2\pi k \leq 4\pi; \quad \frac{\pi}{2} \leq 2\pi k \leq \frac{7\pi}{2}; \quad \frac{1}{4} \leq k \leq \frac{7}{4}, \text{ откуда}$$ $$k = 1, \quad x = \frac{5\pi}{2} \quad \text{или}$$ $$\pi \leq \frac{3\pi}{2} + 4\pi k \leq 4\pi; \quad -\frac{\pi}{2} \leq 4\pi k \leq \frac{5\pi}{2}; \quad -\frac{1}{8} \leq k \leq \frac{5}{8}; \quad \text{откуда}$$ $$k = 0, \quad x = \frac{3\pi}{2}$$

Корни, принадлежащие отрезку: $$\pi, \frac{3\pi}{2}, 2\pi, \frac{5\pi}{2}, 3\pi, 4\pi.$$

Ответ: а) $\pi k, \ k \in \mathbb{Z}; \ \frac{\pi}{2} + 2\pi k, \ k \in \mathbb{Z}; \ \frac{3\pi}{2} + 4\pi k, \ k \in \mathbb{Z};$
б) $\pi, \frac{3\pi}{2}, 2\pi, \frac{5\pi}{2}, 3\pi, 4\pi.$