Тип 14 № 15769

a) Преобразуем степени: $$8^{1-4x} = (2^3)^{1-4x} = 2^{3(1-4x)} = 2^{3-12x}$$ $$4^{1,5-3x} = (2^2)^{1,5-3x} = 2^{2(1,5-3x)} = 2^{3-6x}$$

Подставим в уравнение: $$2^{3-12x} - 21 \cdot 2^{3-6x} + 640 = 0$$

Разделим обе части на $2^3 = 8$: $$2^{-12x} - 21 \cdot 2^{-6x} + 80 = 0$$

Сделаем замену $t = 2^{-6x}$, где $t > 0$: $$t^2 - 21t + 80 = 0$$

Решаем квадратное уравнение: $$D = 441 - 320 = 121$$ $$t_{1,2} = \frac{21 \pm 11}{2}$$ $$t_1 = \frac{21 + 11}{2} = 16, \quad t_2 = \frac{21 - 11}{2} = 5$$

Возвращаемся к переменной $x$:

1. $$2^{-6x} = 16 \leftrightarrow{} 2^{-6x} = 2^4 \leftrightarrow{} -6x = 4$$ $$x = -\frac{4}{6} = -\frac{2}{3}$$

2. $$2^{-6x} = 5 \leftrightarrow{} -6x = \log_2 5$$ $$x = -\frac{1}{6} \log_2 5$$

Общее решение: $$x_1 = -\frac{2}{3}; \quad x_2 = -\frac{1}{6} \log_2 5$$

б) Отберём корни на отрезке $\left[ -1; -0,5 \right]$:

1. $x_1 = -\frac{2}{3} \approx -0,67$ $$-1 \leq -\frac{2}{3} \leq -0,5 \quad \text{— верно}$$

2. $x_2 = -\frac{1}{6} \log_2 5$

Оценим значение: $$\log_2 4 = 2, \quad \log_2 5 \approx 2,32$$ $$x_2 \approx -\frac{1}{6} \cdot 2,32 \approx -0,39$$ $$-0,39 > -0,5 \quad \text{— не входит в отрезок}$$

Итак, корень, принадлежащий отрезку: $$-\frac{2}{3}$$

Ответ: а) $-\frac{2}{3}; -\frac{1}{6} \log_2 5$
б) $-\frac{2}{3}$