Тип 14 № 15766

a) Упростим правую часть уравнения: $$\sin\left(x - \frac{\pi}{2}\right) = -\cos x$$ Получаем: $$\sqrt{4\sin^3 x - 4\cos^2 x - \cos x - \sin x + 3} = \sqrt{-\cos x}$$

Обе части уравнения неотрицательны при: $$\cos x \leq 0$$

Возведём в квадрат обе части: $$4\sin^3 x - 4\cos^2 x - \cos x - \sin x + 3 = -\cos x$$ $$4\sin^3 x - 4\cos^2 x - \sin x + 3 = 0$$

Используем тождество $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$: $$4\sin^3 x - 4(1 - \sin^2 x) - \sin x + 3 = 0$$ $$4\sin^3 x - 4 + 4\sin^2 x - \sin x + 3 = 0$$ $$4\sin^3 x + 4\sin^2 x - \sin x - 1 = 0$$

Сгруппируем слагаемые: $$(4\sin^3 x + 4\sin^2 x) - (\sin x + 1) = 0$$ $$4\sin^2 x(\sin x + 1) - (\sin x + 1) = 0$$ $$(\sin x + 1)(4\sin^2 x - 1) = 0$$

Получаем две возможности: $$\sin x = -1 \quad \text{или} \quad 4\sin^2 x = 1 \Rightarrow \sin x = \pm \frac{1}{2}$$

1. $\sin x = -1$ При $\cos x \leq 0$: $$x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \; k \in \mathbb{Z}$$ ($\cos x = 0$ при таких $x$, что удовлетворяет $\cos x \leq 0$)

2. $\sin x = \frac{1}{2}$ При $\cos x \leq 0$: $$x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k \quad \text{или} \quad x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$$ Проверим косинусы:

$x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$: $\cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2} < 0$ — подходит

$x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$: $\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2} > 0$ — не подходит

1. $\sin x = -\frac{1}{2}$ При $\cos x \leq 0$: $$x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k \quad \text{или} \quad x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi k$$ Проверим косинусы:

$x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k$: $\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2} > 0$ — не подходит

$x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi k$: $\cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2} < 0$ — подходит

Итак, общее решение (с учётом условия $\cos x \leq 0$): $$x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \quad x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, \quad x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$

б) Отберём корни на отрезке $\left[ \frac{9\pi}{2}; 6\pi \right]$ с помощью тригонометрической окружности:

$$5\pi - \frac{\pi}{6} = \frac{29\pi}{6}$$

$$5\pi + \frac{\pi}{6} = \frac{31\pi}{6}$$

Корни, принадлежащие отрезку: $$\frac{11\pi}{2}; \; \frac{29\pi}{6}; \; \frac{31\pi}{6}$$

Ответ: а) $-\frac{\pi}{2} + 2\pi k; \; \frac{5\pi}{6} + 2\pi k; \; \frac{7\pi}{6} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$
б) $\frac{11\pi}{2}; \; \frac{29\pi}{6}; \; \frac{31\pi}{6}$