a) Упростим правую часть уравнения:
cos ( π 2 + x ) = − sin x \cos\left( \frac{\pi}{2} + x \right) = -\sin x cos ( 2 π + x ) = − sin x 2 cos 3 x − sin 2 x − 2 cos x − sin x = − sin x \sqrt{2\cos^3 x - \sin^2 x - 2\cos x - \sin x} = \sqrt{-\sin x} 2 cos 3 x − sin 2 x − 2 cos x − sin x = − sin x
Обе части уравнения неотрицательны при:
sin x ≤ 0 \sin x \leq 0 sin x ≤ 0
Возведём в квадрат обе части:
2 cos 3 x − sin 2 x − 2 cos x − sin x = − sin x 2\cos^3 x - \sin^2 x - 2\cos x - \sin x = -\sin x 2 cos 3 x − sin 2 x − 2 cos x − sin x = − sin x 2 cos 3 x − sin 2 x − 2 cos x = 0 2\cos^3 x - \sin^2 x - 2\cos x = 0 2 cos 3 x − sin 2 x − 2 cos x = 0
Используем тождество sin 2 x = 1 − cos 2 x \sin^2 x = 1 - \cos^2 x sin 2 x = 1 − cos 2 x 2 cos 3 x − ( 1 − cos 2 x ) − 2 cos x = 0 2\cos^3 x - (1 - \cos^2 x) - 2\cos x = 0 2 cos 3 x − ( 1 − cos 2 x ) − 2 cos x = 0 2 cos 3 x + cos 2 x − 2 cos x − 1 = 0 2\cos^3 x + \cos^2 x - 2\cos x - 1 = 0 2 cos 3 x + cos 2 x − 2 cos x − 1 = 0
Сгруппируем слагаемые:
( 2 cos 3 x − 2 cos x ) + ( cos 2 x − 1 ) = 0 (2\cos^3 x - 2\cos x) + (\cos^2 x - 1) = 0 ( 2 cos 3 x − 2 cos x ) + ( cos 2 x − 1 ) = 0 2 cos x ( cos 2 x − 1 ) + ( cos 2 x − 1 ) = 0 2\cos x (\cos^2 x - 1) + (\cos^2 x - 1) = 0 2 cos x ( cos 2 x − 1 ) + ( cos 2 x − 1 ) = 0 ( cos 2 x − 1 ) ( 2 cos x + 1 ) = 0 (\cos^2 x - 1)(2\cos x + 1) = 0 ( cos 2 x − 1 ) ( 2 cos x + 1 ) = 0
Получаем:
cos 2 x = 1 или cos x = − 1 2 \cos^2 x = 1 \quad \text{или} \quad \cos x = -\frac{1}{2} cos 2 x = 1 или cos x = − 2 1
cos 2 x = 1 ⇒ cos x = ± 1 \cos^2 x = 1 \Rightarrow \cos x = \pm 1 cos 2 x = 1 ⇒ cos x = ± 1 При sin x ≤ 0 \sin x \leq 0 sin x ≤ 0 cos x = 1 ⇒ x = 2 π k , k ∈ Z \cos x = 1 \Rightarrow x = 2\pi k, \; k \in \mathbb{Z} cos x = 1 ⇒ x = 2 π k , k ∈ Z
cos x = − 1 ⇒ x = π + 2 π k = π ( 2 k + 1 ) , k ∈ Z \cos x = -1 \Rightarrow x = \pi + 2\pi k = \pi(2k+1), \; k \in \mathbb{Z} cos x = − 1 ⇒ x = π + 2 π k = π ( 2 k + 1 ) , k ∈ Z
cos x = − 1 2 \cos x = -\frac{1}{2} cos x = − 2 1 sin x ≤ 0 \sin x \leq 0 sin x ≤ 0 x = ± 2 π 3 + 2 π k , k ∈ Z x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, \; k \in \mathbb{Z} x = ± 3 2 π + 2 π k , k ∈ Z x = − 2 π 3 + 2 π k ( синус отрицателен ) x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi k \quad (\text{синус отрицателен}) x = − 3 2 π + 2 π k ( синус отрицателен ) x = 2 π 3 + 2 π k ( синус положителен — не подходит ) x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k \quad (\text{синус положителен — не подходит}) x = 3 2 π + 2 π k ( синус положителен — не подходит ) Итак, общее решение:
x = π k , n ∈ Z или x = − 2 π 3 + 2 π k , k ∈ Z x = \pi k, \; n \in \mathbb{Z} \quad \text{или} \quad x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi k, \; k \in \mathbb{Z} x = π k , n ∈ Z или x = − 3 2 π + 2 π k , k ∈ Z
б) Отберём корни на отрезке [ − 4 π ; − 5 π 2 ] \left[-4\pi; -\frac{5\pi}{2} \right] [ − 4 π ; − 2 5 π ]
− 3 π + π 3 = − 8 π 3 -3\pi + \frac{\pi}{3} = -\frac{8\pi}{3} − 3 π + 3 π = − 3 8 π
Корни, принадлежащие отрезку:
− 4 π ; − 3 π ; − 8 π 3 -4\pi; \; -3\pi; \; -\frac{8\pi}{3} − 4 π ; − 3 π ; − 3 8 π
Ответ: а) π k , k ∈ Z ; − 2 π 3 + 2 π k , k ∈ Z \pi k, \; k \in \mathbb{Z}; \; -\frac{2\pi}{3} + 2\pi k, \; k \in \mathbb{Z} π k , k ∈ Z ; − 3 2 π + 2 π k , k ∈ Z б) − 4 π ; − 3 π ; − 8 π 3 -4\pi; \; -3\pi; \; -\frac{8\pi}{3} − 4 π ; − 3 π ; − 3 8 π
