( ∗ ) x 4 > 0 ⇒ x ≠ 0 (*) \quad x^4 > 0 \Rightarrow x \neq 0 ( ∗ ) x 4 > 0 ⇒ x = 0
Преобразуем исходное неравенство:
log 0 , 5 2 ( x 4 ) − x 2 100 − x 2 ≤ 1 ⇔ log 0 , 5 2 ( x 4 ) − x 2 − 100 + x 2 100 − x 2 ≤ 0 ⇔ \frac{\log_{0,5}^2(x^4) - x^2}{100 - x^2} \leq 1 \Leftrightarrow \frac{\log_{0,5}^2(x^4) - x^2 - 100 + x^2}{100 - x^2} \leq 0 \Leftrightarrow 100 − x 2 log 0 , 5 2 ( x 4 ) − x 2 ≤ 1 ⇔ 100 − x 2 log 0 , 5 2 ( x 4 ) − x 2 − 100 + x 2 ≤ 0 ⇔ ⇔ log 0 , 5 2 ( x 4 ) − 100 100 − x 2 ≤ 0 ⇔ ( 10 − log 0 , 5 ( x 4 ) ) ( 10 + log 0 , 5 ( x 4 ) ) ( 10 − x ) ( 10 + x ) ≥ 0 \Leftrightarrow \frac{\log_{0,5}^2(x^4) - 100}{100 - x^2} \leq 0 \Leftrightarrow \frac{(10 - \log_{0,5}(x^4))(10 + \log_{0,5}(x^4))}{(10 - x)(10 + x)} \geq 0 ⇔ 100 − x 2 log 0 , 5 2 ( x 4 ) − 100 ≤ 0 ⇔ ( 10 − x ) ( 10 + x ) ( 10 − log 0 , 5 ( x 4 )) ( 10 + log 0 , 5 ( x 4 )) ≥ 0
Заметим, что log 0 , 5 ( x 4 ) = log 2 − 1 ( x 4 ) = − log 2 ( x 4 ) = − 2 log 2 x 2 \log_{0,5}(x^4) = \log_{2^{-1}}(x^4) = - \log_{2}(x^4) = - 2 \log_{2}x^2 log 0 , 5 ( x 4 ) = log 2 − 1 ( x 4 ) = − log 2 ( x 4 ) = − 2 log 2 x 2
( 10 + 2 log 2 x 2 ) ( 10 − 2 log 2 x 2 ) ( 10 − x ) ( 10 + x ) ≥ 0 ⇔ ( 5 + log 2 x 2 ) ( 5 − log 2 x 2 ) ( 10 − x ) ( 10 + x ) ≥ 0 ⇔ \frac{(10 + 2\log_{2}x^2)(10 - 2\log_{2}x^2)}{(10 - x)(10 + x)} \geq 0 \Leftrightarrow \frac{(5 + \log_{2}x^2)(5 - \log_{2}x^2)}{(10 - x)(10 + x)} \geq 0 \Leftrightarrow ( 10 − x ) ( 10 + x ) ( 10 + 2 log 2 x 2 ) ( 10 − 2 log 2 x 2 ) ≥ 0 ⇔ ( 10 − x ) ( 10 + x ) ( 5 + log 2 x 2 ) ( 5 − log 2 x 2 ) ≥ 0 ⇔ ( log 2 x 2 − log 2 2 − 5 ) ( log 2 2 5 − log 2 x 2 ) ( 10 − x ) ( 10 + x ) ≥ 0 \frac{(\log_{2}x^2 - \log_22^{-5})(\log_22^5 - \log_{2}x^2)}{(10 - x)(10 + x)} \geq 0 ( 10 − x ) ( 10 + x ) ( log 2 x 2 − log 2 2 − 5 ) ( log 2 2 5 − log 2 x 2 ) ≥ 0 ( x 2 − 2 − 5 ) ( 2 5 − x 2 ) ( 10 − x ) ( 10 + x ) ≥ 0 ⇔ ( x 2 − 2 − 5 ) ( x 2 − 2 5 ) ( 10 − x ) ( 10 + x ) ≤ 0 ⇔ \frac{(x^2 - 2^{-5})(2^5 - x^2)}{(10 - x)(10 + x)} \geq 0 \Leftrightarrow \frac{(x^2 - 2^{-5})(x^2 - 2^5)}{(10 - x)(10 + x)} \leq 0 \Leftrightarrow ( 10 − x ) ( 10 + x ) ( x 2 − 2 − 5 ) ( 2 5 − x 2 ) ≥ 0 ⇔ ( 10 − x ) ( 10 + x ) ( x 2 − 2 − 5 ) ( x 2 − 2 5 ) ≤ 0 ⇔ ⇔ ( x − 1 4 2 ) ( x + 1 4 2 ) ( x − 4 2 ) ( x + 4 2 ) ( 10 − x ) ( 10 + x ) ≤ 0 \Leftrightarrow \frac{(x - \tfrac{1}{4\sqrt2})(x + \tfrac{1}{4\sqrt2})(x - 4\sqrt2)(x + 4\sqrt2)}{(10 - x)(10 + x)} \leq 0 ⇔ ( 10 − x ) ( 10 + x ) ( x − 4 2 1 ) ( x + 4 2 1 ) ( x − 4 2 ) ( x + 4 2 ) ≤ 0
x ∈ ( − ∞ ; − 10 ) ∪ [ − 4 2 ; − 1 4 2 ] ∪ [ 1 4 2 ; 4 2 ] ∪ ( 10 ; + ∞ ) x \in (-\infty; -10) \cup \left[-4\sqrt{2}; -\frac{1}{4\sqrt2}\right] \cup \left[\frac{1}{4\sqrt2}; 4\sqrt{2}\right] \cup (10; +\infty) x ∈ ( − ∞ ; − 10 ) ∪ [ − 4 2 ; − 4 2 1 ] ∪ [ 4 2 1 ; 4 2 ] ∪ ( 10 ; + ∞ )
Ответ: ( − ∞ ; − 10 ) ∪ [ − 4 2 ; − 1 4 2 ] ∪ [ 1 4 2 ; 4 2 ] ∪ ( 10 ; + ∞ ) (-\infty; -10) \cup \left[-4\sqrt{2}; -\frac{1}{4\sqrt2}\right] \cup \left[\frac{1}{4\sqrt2}; 4\sqrt{2}\right] \cup (10; +\infty) ( − ∞ ; − 10 ) ∪ [ − 4 2 ; − 4 2 1 ] ∪ [ 4 2 1 ; 4 2 ] ∪ ( 10 ; + ∞ )
