Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение
loga(10+3a2cosx)=2cosx
имеет хотя бы одно решение.
Решение:
(∗){a>0a=1
Ограничение на аргумент логарифма не требуется, так как при условии (∗) он строго положителен.
Преобразуем уравнение:
loga(10+3a2cosx)=logaa2cosx⇔10+3a2cosx=a2cosx⇔⇔10+3a2cosx=a4cosx⇔a4cosx−3a2cosx−10=0⇔(a2cosx−5)(a2cosx+2)=0⇒a2cosx=52cosx=loga5
Так как cosx∈[−1;1], исходное уравнение будет иметь хотя бы один корень тогда, когда −2≤loga5≤2⇔EXTKATEX4X
Решим неравенства по методу рационализации:
{loga5≥−2⋅logaaloga5≤2⋅logaa⇔{loga5≥logaa−2loga5≤logaa2⇔{(a−1)(5−a−2)≥0(a−1)(5−a2)≤0⇔⇔{(a−1)(5−a−1)(5+a−1)≥0(a−1)(5−a)(5+a)≤0⇔{(a−1)(a5−1)(a5+1)≥0(a−1)(5−a)(5+a)≤0
(a−1)(a5−1)(a5+1)≥0
a∈[−51;51]∪[1;+∞)
(a−1)(5−a)(5+a)≤0
a∈[−5;1]∪[5;+∞)
Пересекаем решения:
a∈[−51;51]∪[5;+∞)
Пересекая с ограничением (∗), получаем ответ:
a∈(0;51]∪[5;+∞)
