( ∗ ) ∣ x ∣ > 0 ⇒ x ≠ 0 (*) \quad |x| > 0 \Rightarrow x \neq 0 ( ∗ ) ∣ x ∣ > 0 ⇒ x = 0
Преобразуем исходное неравенство:
x 2 − log 3 2 ∣ x ∣ x 2 − 9 ≥ 1 ⇔ x 2 − log 3 2 ∣ x ∣ − x 2 + 9 x 2 − 9 ≥ 0 ⇔ \frac{x^2 - \log_{\sqrt3}^2|x|}{x^2 - 9} \geq 1 \Leftrightarrow \frac{x^2 - \log_{\sqrt3}^2|x| -x^2 + 9}{x^2 - 9} \geq 0 \Leftrightarrow x 2 − 9 x 2 − log 3 2 ∣ x ∣ ≥ 1 ⇔ x 2 − 9 x 2 − log 3 2 ∣ x ∣ − x 2 + 9 ≥ 0 ⇔ ⇔ 9 − log 3 2 ∣ x ∣ x 2 − 9 ≥ 0 ⇔ ( 3 − log 3 ∣ x ∣ ) ( 3 + log 3 ∣ x ∣ ) ( x − 3 ) ( x + 3 ) ≥ 0 \Leftrightarrow \frac{9 - \log_{\sqrt3}^2|x|}{x^2 - 9} \geq 0 \Leftrightarrow \frac{(3 - \log_{\sqrt3}|x|)(3 + \log_{\sqrt3}|x|)}{(x - 3)(x + 3)} \geq 0 ⇔ x 2 − 9 9 − log 3 2 ∣ x ∣ ≥ 0 ⇔ ( x − 3 ) ( x + 3 ) ( 3 − log 3 ∣ x ∣ ) ( 3 + log 3 ∣ x ∣ ) ≥ 0
По св-ву логарифмов, возведём аргументы и основания логарифмов во 2-ю степень:
( 3 − log 3 x 2 ) ( 3 + log 3 x 2 ) ( x − 3 ) ( x + 3 ) ≥ 0 ⇔ ( log 3 3 3 − log 3 x 2 ) ( log 3 3 3 + log 3 x 2 ) ( x − 3 ) ( x + 3 ) ≥ 0 ⇔ \frac{(3 - \log_{3}x^2)(3 + \log_{3}x^2)}{(x - 3)(x + 3)} \geq 0 \Leftrightarrow \frac{(\log_33^3 - \log_{3}x^2)(\log_33^3 + \log_{3}x^2)}{(x - 3)(x + 3)} \geq 0 \Leftrightarrow ( x − 3 ) ( x + 3 ) ( 3 − log 3 x 2 ) ( 3 + log 3 x 2 ) ≥ 0 ⇔ ( x − 3 ) ( x + 3 ) ( log 3 3 3 − log 3 x 2 ) ( log 3 3 3 + log 3 x 2 ) ≥ 0 ⇔ ⇔ ( log 3 3 3 − log 3 x 2 ) ( log 3 3 3 − log 3 1 x 2 ) ( x − 3 ) ( x + 3 ) ≥ 0 \Leftrightarrow \frac{(\log_33^3 - \log_{3}x^2)(\log_33^3 - \log_{3}\frac{1}{x^2})}{(x - 3)(x + 3)} \geq 0 ⇔ ( x − 3 ) ( x + 3 ) ( log 3 3 3 − log 3 x 2 ) ( log 3 3 3 − log 3 x 2 1 ) ≥ 0 ( 3 3 − x 2 ) ( 3 3 − 1 x 2 ) ( x − 3 ) ( x + 3 ) ≥ 0 ⇔ ( 3 3 − x ) ( 3 3 + x ) ( 3 3 − 1 x ) ( 3 3 + 1 x ) ( x − 3 ) ( x + 3 ) ≥ 0 \frac{(3^3 - x^2)(3^3 - \frac{1}{x^2})}{(x - 3)(x + 3)} \geq 0 \Leftrightarrow \frac{(3\sqrt3 - x)(3\sqrt3 + x)(3\sqrt3 - \frac{1}{x})(3\sqrt3 + \frac{1}{x})}{(x - 3)(x + 3)} \geq 0 ( x − 3 ) ( x + 3 ) ( 3 3 − x 2 ) ( 3 3 − x 2 1 ) ≥ 0 ⇔ ( x − 3 ) ( x + 3 ) ( 3 3 − x ) ( 3 3 + x ) ( 3 3 − x 1 ) ( 3 3 + x 1 ) ≥ 0
x ∈ [ − 3 3 ; − 3 ) ∪ [ − 3 9 ; 3 9 ] ∪ ( 3 ; 3 3 ] x \in [-3\sqrt3; -3) \cup \left[-\frac{\sqrt3}{9}; \frac{\sqrt3}{9}\right] \cup (3; 3\sqrt3] x ∈ [ − 3 3 ; − 3 ) ∪ [ − 9 3 ; 9 3 ] ∪ ( 3 ; 3 3 ]
Учитывая ограничения ( ∗ ) (*) ( ∗ ) x ∈ [ − 3 3 ; − 3 ) ∪ [ − 3 9 ; 0 ) ∪ ( 0 ; 3 9 ] ∪ ( 3 ; 3 3 ] x \in [-3\sqrt3; -3) \cup \left[-\frac{\sqrt3}{9}; 0\right) \cup \left(0; \frac{\sqrt3}{9}\right] \cup (3; 3\sqrt3] x ∈ [ − 3 3 ; − 3 ) ∪ [ − 9 3 ; 0 ) ∪ ( 0 ; 9 3 ] ∪ ( 3 ; 3 3 ]
Ответ: [ − 3 3 ; − 3 ) ∪ [ − 3 9 ; 0 ) ∪ ( 0 ; 3 9 ] ∪ ( 3 ; 3 3 ] [-3\sqrt3; -3) \cup \left[-\frac{\sqrt3}{9}; 0\right) \cup \left(0; \frac{\sqrt3}{9}\right] \cup (3; 3\sqrt3] [ − 3 3 ; − 3 ) ∪ [ − 9 3 ; 0 ) ∪ ( 0 ; 9 3 ] ∪ ( 3 ; 3 3 ]
