Тип 18 № 13210

а)

Пусть $AO=R$

Запишем теорему синусов для $\Delta ABC$: $$\dfrac{BC}{2\sin \angle A} = \dfrac{BC}{2\sin 60^\circ} =\dfrac{BC}{\sqrt{3}} =R \quad \Longrightarrow \quad AO = \dfrac{BC}{\sqrt{3}}$$

$$\dfrac{AC}{\sin\angle B} = \dfrac{BC}{\sin \angle A} \quad \Longrightarrow \quad AC =\dfrac{BC\cdot \sin \angle B}{\sin \angle A} \hspace{1cm} (*)$$ Опустим из точки $A$ высоту $AF$ на сторону $BC$.

В прямоугольном $\Delta AHM: \quad \cos \angle HAM = \dfrac{AM}{AH}$.

Тогда $$AH=\dfrac{AM}{\cos \angle HAM}=\dfrac{AM}{\cos(90^\circ -\angle ABF)}=\dfrac{AM}{\sin \angle B}$$

В прямоугольном $\Delta ACM$: $$\dfrac{AM}{AC} = \cos \angle MAC = \cos \angle A \quad \Longrightarrow \quad AM = AC \cdot \cos \angle A$$

Значит $$AH = \dfrac{AM}{\sin \angle B} = \dfrac{AC\cdot \cos \angle A}{\sin \angle B}$$

Из ($*$) знаем, что $AC =\dfrac{BC\cdot \sin \angle B}{\sin \angle A}$, тогда $$AH = \dfrac{BC\cdot \sin \angle B \cdot \cos \angle A}{\sin \angle A \cdot \sin \angle B} = \dfrac{BC\cdot \cos \angle A}{\sin \angle A} = BC \cdot \ctg \angle A=BC \cdot \ctg \angle 60^\circ= \dfrac{BC}{\sqrt{3}}$$

Получили, что $AO = AH = \dfrac{BC}{\sqrt{3}}$.

б) $\angle ACB = 180^\circ - \angle BAC -\angle ABC = 180^\circ - 60^\circ - 45^\circ = 75^\circ $.

$\angle ACB = 75^\circ$    \Longrightarrow    $\angle AOB = 2\cdot \angle ACB = 2\cdot 75^\circ = 150^\circ$, как центральный.

Далее $$OB = OA\text{, как радиусы, тогда } \Delta BOA - \text{равнобедренный}.$$

Следовательно $$\angle BAO = \dfrac{180^\circ - \angle BOA}{2} = \dfrac{180^\circ - 150^\circ}{2}=15^\circ$$

Найдем $\angle OAH:$ $$\angle OAH = \angle BAC - \angle BAO - \angle CAL = 60^\circ - 15^\circ - 15^\circ = 30^\circ$$

Найдем площадь $\Delta HAO$: $$S_{\Delta HAO} =\dfrac{1}{2} \cdot AH \cdot AO \cdot \sin \angle HAO= \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{BC}{\sqrt{3}}\cdot \dfrac{BC}{\sqrt{3}}\cdot \sin 30^\circ = \dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{6\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\cdot \dfrac{6\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \cdot \dfrac{1}{2} = 9$$

Ответ:    $9$