Ортоцентр

В остроугольном треугольнике $ABC$ проведены высоты $AK$ и $CM$. На них из точек $M$ и $K$ опущены перпендикуляры $ME$ и $KH$ соответственно.

а) Докажите, что прямые $EH$ и $AC$ параллельны. б)Найдите отношение $EH:AC$, если угол $ABC$ равен $30^\circ$.

Источник: ЕГЭ 2016, основная волна

Отрезок $CH$ — высота прямоугольного треугольника $ABC$ с прямым углом $C$. На катетах $AC$ и $BC$ выбраны точки $M$ и $N$ соответственно такие, что $\angle MHN=90^\circ$.

а) Докажите, что треугольник $MHN$ подобен треугольнику $ABC$.

б)Найдите $CN$, если $BC=3, AC=5, CM=2$.

Источник: ЕГЭ 2021, основная волна

В равнобедренном тупоугольном треугольнике $ABC$ на продолжение боковой стороны $BC$ опущена высота $AH$. Из точки $H$ на сторону $AB$ и основание $AC$ опущены перпендикуляры $HK$ и $HM$ соответственно.

а) Докажите, что отрезки $AM$ и $MK$ равны.

б) Найдите $MK$, если $AB=5, AC=8$.

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант №394

В остроугольном треугольнике $ABC$ , $\angle A = 60^\circ$. Высоты $BN$ и $CM$ треугольника $ABC$ пересекаются в точке $H$. Точка $O$— центр окружности, описанной около $\Delta ABC$.

а) Докажите, что $AH=AO$.

б) Найдите площадь $\Delta AHO$, если $BC=6\sqrt{3}, \angle ABC=45^\circ$.

Источник: ЕГЭ 2019, основная волна

На стороне $AC$ равностороннего треугольника $ABC$ взяли точку $M$. Серединный перпендикуляр к $BM$ пересекает $AB$ и $BC$ в точках $E$ и $K$ соответственно.

а) Докажите, что углы $AEM$ и $KMC$ равны.

б) Найдите отношение площадей треугольников $AEM$ и $MKC$, если $AM:CM=2:5$.

Источник: ЕГЭ 2023, основная волна

В треугольнике $ABC$ угол $A$ равен $120^\circ$. Прямые, содержащие высоты $BM$ и $CN$ треугольника $ABC$, пересекаются в точке $H$. Точка $O$ — центр окружности, описанной около треугольника $ABC$.

а) Докажите, что $AH = AO$.

б) Найдите площадь треугольника $AHO$, если $BC=\sqrt{15}$, $\angle ABC = 45^\circ$.

Точка $O$ — центр вписанной в треугольник $ABC$ окружности. Прямая $OB$ вторично пересекает описанную около этого треугольника окружность в точке $P$.

a) Докажите, что $\angle POC = \angle PCO$.

б) Найдите площадь треугольника $APC$, если радиус описанной около треугольника $ABC$ окружности равен $4$, а $\angle ABC = 120^\circ$.

В острогольном треугольнике $ABC$ проведены высоты $AK$ и $CM$. На них из точек $M$ и $K$ опущены перпендикуляры $ME$ и $KH$ соответственно.

a) Докажите, что прямые $EH$ и $AC$ параллельны.

б) Найдите отношение $EH$ и $AC$, если $\angle ABC = 60^\circ$.

В острогольном треугольнике $ABC$ проведены высоты $AK$ и $CM$. На них из точек $M$ и $K$ опущены перпендикуляры $ME$ и $KH$ соответственно.

a) Докажите, что прямые $EH$ и $AC$ параллельны.

б) Найдите отношение $EH$ и $AC$, если $\angle ABC = 45^\circ$.